(è sufficiente dimostrare a livello qualitativo le formule)
- Il problema: Studiamo una particella di energia \(E > 0\) che incide su una barriera di potenziale rettangolare:
\( V(x) = \begin{cases}
0 & x < 0 \\
V_0 & 0 < x < a \\
0 & x > a
\end{cases} \)
- Classica:
- \(E \in (0, V_0)\): la particella viene sempre riflessa (\(T=0\)), nessuna trasmissione.
- \(E > V_0\): la particella viene sempre trasmessa (\(T=1\)), nessuna riflessione.
- Analisi quantistica:
- Si risolve l'equazione di Schrödinger in tre regioni:
-
Regione I (x < 0): \( \psi_1(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx} \)
Regione II (0 < x < a):
- Se \(E \in (0, V_0)\): \( \psi_2(x) = F e^{\kappa x} + G e^{-\kappa x} \), con \( \kappa = \sqrt{\frac{2m(V_0-E)}{\hbar^2}} \)
- Se \(E > V_0\): \( \psi_2(x) = F e^{ik' x} + G e^{-ik' x} \), con \( k' = \sqrt{\frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}} \)
Regione III (x > a): \( \psi_3(x) = C e^{ikx} \)
- Imponi la continuità di \( \psi(x) \) e \( \psi'(x) \) ai bordi (x=0, x=a), trova i rapporti tra costanti.
- Calcola densità di corrente:
Per \( x<0 \): \( j = v(|A|^2 - |B|^2) \).
Per \( x>a \): \( j = v|C|^2 \), dove \( v = \frac{\hbar k}{m} \).
- Definisci coefficienti: \( R = \frac{|B|^2}{|A|^2} \), \( T = \frac{|C|^2}{|A|^2} \) con \( R+T=1 \).
- Risultati e confronto:
- Risultato quantistico: Entrambi i coefficienti di trasmissione e riflessione sono non banali sia per \(E \in (0, V_0)\) che per \(E > V_0\).
-
Per \(E \in (0, V_0)\): trasmissione “tunnel”:
\( T = \left[1 + \frac{V_0^2 \sinh^2(\kappa a)}{4E(V_0 - E)}\right]^{-1} \)
Riflessione:
\( R = 1 - T \)
(La probabilità di attraversamento è esponenzialmente piccola se la barriera è “spessa”)
-
Per \(E > V_0\): anche sopra la barriera si ha interferenza quantistica:
\( T = \left[1 + \frac{V_0^2 \sin^2(k'a)}{4E(E - V_0)}\right]^{-1} \)
\( R = 1 - T \)
- Limiti notevoli:
- \(E \to 0:\) \( T \to 0 \) (nessuna trasmissione, come in classica)
- \(E \to V_0^-:\) \( T \to \left[1 + \frac{m V_0 a^2}{2\hbar^2}\right]^{-1} \) (resta minore di 1)
- \(E \to V_0^+:\) stesso limite di sopra, trasmissione non totale
-
Fisica dietro il fenomeno:
- Effetto tunnel: la particella può attraversare la barriera anche se “classicamente proibito”.
- Applicazioni: radioattività alfa, microscopia a effetto tunnel (STM).
- Differenza chiave: nella meccanica classica \(T\) o \(R\) sono sempre 0 o 1; nella quantistica sono intermedi e dipendono da \(E, V_0, a\).
Domanda secca:
Cos’è l’effetto tunnel?
Risposta:
L’effetto tunnel è il fenomeno quantistico per cui una particella può attraversare una barriera di potenziale anche se la sua energia è inferiore all’altezza della barriera, cosa impossibile secondo la fisica classica.
