Osservabili compatibili

Qui trovi la soluzione alla domanda:
Osservabili compatibili
    (Condizione matematica, proprietà fisiche, esempi e CSCO)
  1. Definizione formale:
    Due osservabili \(A,B\) sono compatibili se e solo se \[ \boxed{\, [A,B] = 0 \,} \]
  2. Base di autostati comuni:
    Se \([A,B]=0\) esiste una base ortonormale \(\{|a,b\rangle\}\) tale che \[ \boxed{\,A|a,b\rangle = a|a,b\rangle,\qquad B|a,b\rangle = b|a,b\rangle\,} \] Ogni stato può essere sviluppato su questa base con valori simultanei \((a,b)\).
  3. Misurabilità simultanea:
    • La misura di \(A\) non disturba \(B\) (e vice-versa).
    • L’incertezza minima imposta da Heisenberg è \(\Delta A\,\Delta B \ge 0\) (nessun limite inferiore diverso da zero).
  4. Degenerazione e CSCO:
    • Se uno dei due operatori ha autovalori degeneri, servono più osservabili tra loro compatibili per formare un Complete Set of Commuting Observables (CSCO).
    • Esempio CSCO per l’atomo di idrogeno: \(\{H,\;L^2,\;L_z\}\).
  5. Esempi di osservabili compatibili:
    • \(\color{#2980b9}{x}\) e \(\color{#2980b9}{y}\) (posizioni lungo assi diversi): \([x,y]=0\).
    • \(L_z\) e \(L^2\) (momento angolare): autostati comuni \(|\ell,m\rangle\).
    • Hamiltoniano di particella libera \(H = p^2/2m\) e \(p\): hanno autostati \(|p\rangle\).
  6. Esempi di incompatibilità (confronto rapido):
    • \(x\) e \(p_x\)  ⇒  \([x,p_x]=i\hbar\neq 0\).
    • Componenti ortogonali di spin, es. \(S_x\) e \(S_y\).
Domanda secca:
Qual è la condizione matematica che rende compatibili due osservabili?

Risposta:
Devono avere commutatore nullo: \([A,B]=0\); in tal caso esiste una base completa di autostati comuni e le due grandezze sono misurabili simultaneamente senza limiti di indeterminazione reciproca.