Osservabili commutano ⟺ sono compatibili

Qui trovi la soluzione alla domanda:
Osservabili commutano se e solo se sono compatibili
    (Condizione necessaria e sufficiente + dimostrazione essenziale)
  1. Enunciato:
    \[ \boxed{\, [A,B]=0 \;\Longleftrightarrow\; A,B \text{ compatibili}\;} \] (possono essere misurati simultaneamente con precisione arbitraria).
  2. \([A,B]=0 \Rightarrow\) compatibilità:
    • I due operatori hermitiani commutano.
    • Esiste una base ortonormale \(\{|a,b\rangle\}\) di autostati comuni: \[ A|a,b\rangle = a|a,b\rangle,\quad B|a,b\rangle = b|a,b\rangle \]
    • La misura di \(A\) non altera il risultato di \(B\) e vice-versa.
  3. Compatibilità \(\Rightarrow [A,B]=0\):
    • Se esiste una base completa di autostati comuni, allora su ciascun vettore \( |a,b\rangle \) vale \((AB-BA)|a,b\rangle = 0\).
    • Per linearità ciò implica \(\boxed{[A,B]=0}\) su tutto lo spazio di Hilbert.
  4. Conseguenze principali:
    • Le osservabili condividono funzioni proprie → è possibile etichettare uno stato con la coppia di autovalori \((a,b)\).
    • Prodotto di incertezze: \(\Delta A\,\Delta B \ge \tfrac12|\langle[A,B]\rangle| = 0\) ⇒ può ridursi a zero.
  5. Esempi compatibili:
    • \(x\) e \(y\) (posizioni ortogonali).
    • \(L_z\) e \(L^2\) (momento angolare).
    • Hamiltoniano dell’oscillatore armonico \(H\) e numero quantico \(N\).
  6. Esempi non compatibili (commutatore ≠ 0):
    • \(x\) e \(p_x\),  \([x,p_x]=i\hbar\).
    • Due componenti diverse di spin: \([S_x,S_y]=i\hbar S_z\).
Domanda secca:
Perché non esiste un limite di indeterminazione tra due osservabili compatibili?

Risposta:
Perché \([A,B]=0\) implica che il termine \(\tfrac12|\langle[A,B]\rangle|\) nella disuguaglianza di Heisenberg è nullo, quindi si possono preparare stati con \(\Delta A=0\) e \(\Delta B=0\) simultaneamente: le misure non si disturbano fra di loro.