(Dimostrazione concettuale con riferimenti alle formule e passaggi chiave)
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Enunciato:
In meccanica quantistica, per ogni coppia di operatori osservabili hermitiani \(A\) e \(B\), vale la relazione di indeterminazione:
\( \Delta_\psi A \cdot \Delta_\psi B \;\geq\; \frac{1}{2} \left| \langle \psi | [A, B] | \psi \rangle \right| \)
dove \( \Delta_\psi A \) è la deviazione standard di \(A\) nello stato \(|\psi\rangle\).
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Definizioni e notazione:
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\( \Delta_\psi A = \sqrt{ \langle\psi|A^2|\psi\rangle - (\langle\psi|A|\psi\rangle)^2 } \) (analogo per \(B\))
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Il commutatore: \( [A, B] = AB - BA \)
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La relazione vale per ogni stato normalizzato (\( \langle\psi|\psi\rangle = 1 \)).
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Dimostrazione (idea chiave):
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Considera i vettori \( |f\rangle = (A - \langle A \rangle)|\psi\rangle \) e \( |g\rangle = (B - \langle B \rangle)|\psi\rangle \).
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Applica la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:
\( |\langle f|g\rangle|^2 \leq \langle f|f\rangle \langle g|g\rangle \)
ossia:
\( |\langle f|g\rangle|^2 \leq (\Delta A)^2 (\Delta B)^2 \)
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Scrivi la parte immaginaria del prodotto scalare:
\( \operatorname{Im}\langle f|g\rangle = \frac{\langle f|g\rangle - \langle g|f\rangle}{2i} = \frac{\langle\psi|[A,B]|\psi\rangle}{2i} \)
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Quindi,
\( (\Delta A)(\Delta B) \geq |\operatorname{Im}\langle f|g\rangle| \).
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Sostituendo:
\( (\Delta A)(\Delta B) \geq \left| \frac{\langle\psi|[A,B]|\psi\rangle}{2i} \right| = \frac{1}{2} \left| \langle\psi|[A,B]|\psi\rangle \right| \)
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Applicazione a posizione e quantità di moto:
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\( [x, p] = i\hbar \Rightarrow \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \)
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Stati gaussiani (\(\psi(x)\) gaussiana normalizzata): sono gli stati che saturano il limite (uguaglianza).
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Interpretazione fisica:
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L’indeterminazione non è dovuta a limiti tecnologici, ma è una caratteristica fondamentale della natura quantistica.
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Due osservabili sono dette compatibili solo se commutano (\([A, B] = 0\)): in questo caso le incertezze possono annullarsi contemporaneamente.
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Se \([A,B]\neq 0\), esiste un limite inferiore insuperabile al prodotto delle incertezze.
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Esempio pratico:
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Per un pacchetto d’onda gaussiano centrato in \(x_0\) e \(p_0\), la funzione d’onda è:
\( \psi(x) = A\, e^{-\frac{(x-x_0)^2}{4\sigma^2}} e^{i p_0 x/\hbar} \)
In questo caso: \( \Delta x = \sigma \), \( \Delta p = \frac{\hbar}{2\sigma} \) e si ha \( \Delta x \Delta p = \frac{\hbar}{2} \).
Domanda secca:
Cosa vuol dire che due osservabili sono “compatibili”?
Risposta:
Due osservabili sono compatibili se i rispettivi operatori commutano, cioè \([A,B]=0\). In questo caso esiste una base di autostati comuni e le misure possono essere determinate contemporaneamente senza indeterminazione minima.
