Momento angolare di due fermioni legati

Momento angolare totale di due fermioni legati
Riassumendo quanto visto sui sistemi di fermioni identici (come due elettroni):
La funzione d’onda totale deve essere antisimmetrica per scambio di particelle, quindi la parte spaziale e quella di spin devono avere simmetria opposta.

Combinazione dei momenti angolari:
Dati due momenti angolari \( \vec{j}_1, \vec{j}_2 \) (ad esempio gli spin degli elettroni), il momento angolare totale è \( \vec{J} = \vec{j}_1 + \vec{j}_2 \).
Gli autovalori possibili di \(J\) sono \( |j_1 - j_2|, |j_1 - j_2| + 1, ..., (j_1 + j_2) \).
Per due fermioni (spin 1/2): \(J = 1\) (tripletto, simmetrico) oppure \(J = 0\) (singoletto, antisimmetrico).

\[ |S, M_S\rangle,\quad S=1,0,\quad M_S = -S, ..., S \]

Gli stati di spin di due fermioni si costruiscono usando il prodotto tensoriale degli stati base di ciascun elettrone: \( |\uparrow\rangle, |\downarrow\rangle \).
(Lo stato \( |\uparrow\downarrow\rangle \) significa: primo fermione spin up, secondo spin down.)

Tripletto \((S=1,\, \textbf{simmetrico})\):

\( |1,1\rangle = |\uparrow\uparrow\rangle \) Entrambi con spin up. (\(M_S = +1\))
\( |1,0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( |\uparrow\downarrow\rangle + |\downarrow\uparrow\rangle \right) \) Combinazione simmetrica, normalizzata. (\(M_S = 0\))
Normalizzazione esplicita:
Si impone che \( \langle 1,0 | 1,0 \rangle = 1 \):

\[ \langle 1,0 | 1,0 \rangle = \frac{1}{2} \left( \langle\uparrow\downarrow| + \langle\downarrow\uparrow| \right) \left( |\uparrow\downarrow\rangle + |\downarrow\uparrow\rangle \right) = \frac{1}{2}(1+0+0+1) = 1 \]
Tutti gli stati tripletto sono ortonormali.
\( |1,-1\rangle = |\downarrow\downarrow\rangle \) Entrambi con spin down. (\(M_S = -1\))

Singoletto \((S=0,\, \textbf{antisimmetrico})\):

\( |0,0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( |\uparrow\downarrow\rangle - |\downarrow\uparrow\rangle \right) \) Combinazione antisimmetrica (unico stato con spin totale zero).
Anche qui, la normalizzazione si impone:
\[ \langle 0,0 | 0,0 \rangle = \frac{1}{2} \left( \langle\uparrow\downarrow| - \langle\downarrow\uparrow| \right) \left( |\uparrow\downarrow\rangle - |\downarrow\uparrow\rangle \right) = \frac{1}{2}(1-0-0+1) = 1 \]

Simmetria:

Gli stati tripletto sono simmetrici rispetto allo scambio delle due particelle.
Lo stato singoletto è antisimmetrico rispetto allo scambio.

Regola generale: La funzione d’onda totale per due fermioni deve essere antisimmetrica: se la parte di spin è simmetrica (tripletto), la parte spaziale deve essere antisimmetrica, e viceversa, secondo il principio di esclusione di Pauli.

Appunti:

possibili combinazioni dei due spin 1/2 e la costruzione dei multiplet di spin totale (tripletto e singoletto).
Ricorda che ogni stato \(|\uparrow\downarrow\rangle\) sta per: primo fermione up, secondo fermione down, e così via.

Combinazione di autostati: i coefficienti di Clebsch-Gordan
Quando si hanno due momenti angolari (ad esempio, due spin 1/2), gli autostati del sistema composto si ottengono combinando gli autostati dei singoli sottosistemi.

Queste combinazioni lineari sono determinate dai coefficienti di Clebsch-Gordan, che permettono di passare dalla base dei singoli momenti angolari (\( |m_1\rangle |m_2\rangle \)) alla base degli autostati di momento angolare totale (\( |S, M_S\rangle \)).

I coefficienti di Clebsch-Gordan sono quindi i pesi (numeri reali o complessi) che compaiono nella somma:

\[ |S, M_S\rangle = \sum_{m_1, m_2} C^{S,M_S}_{j_1, m_1; j_2, m_2} \; |j_1, m_1\rangle |j_2, m_2\rangle \]

dove \(C^{S,M_S}_{j_1, m_1; j_2, m_2}\) sono appunto i coefficienti di Clebsch-Gordan.
Nel nostro caso, per due spin 1/2:

\[ |1,0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\,|\uparrow\downarrow\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\,|\downarrow\uparrow\rangle \]
I coefficienti di Clebsch-Gordan sono \(C^{1,0}_{\frac{1}{2},+\frac{1}{2};\,\frac{1}{2},-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\) e \(C^{1,0}_{\frac{1}{2},-\frac{1}{2};\,\frac{1}{2},+\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

In generale, servono per combinare gli stati di spin (o di momento angolare orbitale) e costruire gli autostati del sistema totale. I valori si possono trovare su tabelle oppure calcolare con regole note.

Esempio esplicito:
Supponiamo di voler esprimere lo stato con momento angolare totale massimo (\(S=1, M_S=1\)):

\[ |1,1\rangle = |\uparrow\uparrow\rangle \]

Qui il coefficiente di Clebsch-Gordan vale 1 solo per \(m_1=+\frac{1}{2}, m_2=+\frac{1}{2}\).
Per il caso \(S=1, M_S=0\) visto sopra, invece, è una combinazione lineare dei due casi possibili:

\[ |1,0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \Big( |\uparrow\downarrow\rangle + |\downarrow\uparrow\rangle \Big) \]

Per il singoletto (\(S=0, M_S=0\)):

\[ |0,0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \Big( |\uparrow\downarrow\rangle - |\downarrow\uparrow\rangle \Big) \]

In sintesi:
I coefficienti di Clebsch-Gordan danno i pesi numerici precisi con cui si combinano gli stati dei sottosistemi per ottenere gli autostati di momento angolare totale. Nel caso di due spin 1/2, questi pesi sono sempre \(1\) o \(\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\) (o zero per combinazioni non permesse).

Conclusione: Abbiamo visto come, partendo dai principi della meccanica quantistica per particelle identiche, la combinazione dei momenti angolari (spin) di due fermioni porti a stati simmetrici (tripletto) e antisimmetrici (singoletto), ciascuno con proprietà ben distinte. La costruzione degli autostati del sistema totale si basa sui coefficienti di Clebsch-Gordan, che fissano in modo univoco le combinazioni lineari possibili partendo dagli stati separati. In questo modo, la simmetria della funzione d’onda totale rispetta il principio di esclusione di Pauli e riflette le proprietà fondamentali della materia.

Costruzione esplicita degli stati di spin con notazione generica
Consideriamo due fermioni identici (es: elettroni), ciascuno descritto da una variabile generica \( q_i = \{\vec{r}_i, \chi_i\} \), dove \( \vec{r}_i \) rappresenta la posizione (di solito in coordinate sferiche: \( r, \theta, \phi \)), e \( \chi_i \) lo stato di spin (spin up o down per il fermione \(i\)).
La funzione d’onda totale dipende sia dalle coordinate spaziali che dagli stati di spin: \( \Psi(q_1, q_2) = \psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2)\,\chi(\chi_1, \chi_2) \).

Stati di spin simmetrici (tripletto, \(S=1\)):

\(\chi_{1,1} = \chi_+(1)\chi_+(2)\) → Entrambi i fermioni con spin up (\(M_S=1\)).

\(\chi_{1,0} = \frac{1}{\sqrt{2}}\Big( \chi_+(1)\chi_-(2) + \chi_-(1)\chi_+(2) \Big)\) → Stato simmetrico e normalizzato (\(M_S=0\)).
Normalizzazione esplicita:
\[ \langle \chi_{1,0} | \chi_{1,0} \rangle = \frac{1}{2}\Big( \langle +-|+- \rangle + \langle -+|+- \rangle + \langle +-| -+ \rangle + \langle -+|-+ \rangle \Big) = 1 \]

\(\chi_{1,-1} = \chi_-(1)\chi_-(2)\) → Entrambi i fermioni con spin down (\(M_S = -1\)).

Stato di spin antisimmetrico (singoletto, \(S=0\)):

\(\chi_{0,0} = \frac{1}{\sqrt{2}}\Big( \chi_+(1)\chi_-(2) - \chi_-(1)\chi_+(2) \Big)\) → Stato antisimmetrico, unico con spin totale zero (\(M_S = 0\)).
Normalizzazione esplicita:
\[ \langle \chi_{0,0} | \chi_{0,0} \rangle = \frac{1}{2}\Big( \langle +-|+- \rangle - \langle -+|+- \rangle - \langle +|-+ \rangle + \langle -+|-+ \rangle \Big) = 1 \]

Nota: In questa notazione, ogni \(\chi_\pm(i)\) indica lo stato di spin (up/down) del fermione \(i\).
Se la parte spaziale \(\psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2)\) è simmetrica, lo stato di spin deve essere antisimmetrico, e viceversa, per rispettare la simmetrizzazione della funzione d’onda totale.
Le variabili di posizione \(\vec{r}_i\) sono tipicamente espresse in coordinate sferiche negli atomi.