(Dimostrazione esplicita dell’equazione di continuità e interpretazione fisica)
- Densità di probabilità:
\[
\boxed{\rho(x,t)=|\psi(x,t)|^2}
\]
- Conservazione globale:
-
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\!\rho(x,t)\,dx
=\color{#b30000}{1}\) ⇒ normalizzazione costante nel tempo.
- Conservazione locale (equazione di continuità):
-
\[
\boxed{\;
\frac{\partial \rho}{\partial t}+
\nabla\!\cdot\!\vec{j}=0\;}
\]
-
Corrente di probabilità per particella libera:
\[
\boxed{\,\displaystyle
\vec{j}= \frac{\hbar}{2mi}\!
\bigl(\psi^{*}\nabla\psi-\psi\nabla\psi^{*}\bigr)\,}
\]
- Passi della dimostrazione:
- Usa Schrödinger \(\,i\hbar\partial_t\psi=
-\tfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V\psi\) e la sua complessa coniugata.
-
Somma i due risultati per
\(\displaystyle \partial_t|\psi|^2\) e raccogli i termini
in forma di divergenza \(\nabla\!\cdot\!\vec{j}\).
- Forma integrale (teorema della divergenza):
\[
\boxed{\;
\frac{d}{dt}\int_V\!\rho\,dV
=-\!\!\int_{\partial V}\!\vec{j}\!\cdot\!d\vec S\;}
\]
- Normalizzazione nel tempo:
\[
|\psi\rangle\text{ normalizzato }
\Longrightarrow
\int|\psi(x,t)|^2dx=\color{#2980b9}{1}\quad\forall t
\]
Domanda secca:
A cosa serve la corrente di probabilità \(\vec{j}\)?
Risposta:
\(\vec{j}\) quantifica il flusso locale della probabilità: se
\(\displaystyle \int_{\partial V}\vec{j}\!\cdot d\vec S = 0\),
allora la probabilità interna al volume \(V\) resta costante.
