Bosoni: Funzioni d’onda simmetriche rispetto allo scambio di particelle.
Nessun limite al numero di bosoni nello stesso stato quantico.
Nessun limite al numero di bosoni nello stesso stato quantico.
Fermioni: Funzioni d’onda antisimmetriche rispetto allo scambio di particelle.
Due fermioni non possono mai occupare lo stesso stato quantico (principio di Pauli).
Simmetrizzazione degli stati:
Due fermioni non possono mai occupare lo stesso stato quantico (principio di Pauli).
Se due o più particelle sono identiche e indistinguibili, la funzione d’onda totale deve essere simmetrica (bosoni) o antisimmetrica (fermioni) rispetto allo scambio di qualsiasi coppia.
Formalmente, per due particelle:
\( \Psi(x_1, x_2) = \pm \Psi(x_2, x_1) \)
(\(+\) bosoni, \(-\) fermioni)
- Bosoni: funzione d’onda simmetrica per ogni permutazione
- Fermioni: funzione d’onda antisimmetrica per ogni permutazione
Determinante di Slater
Per \(N\) fermioni, la funzione d’onda antisimmetrica è costruita come un determinante di Slater:
Per \(N\) fermioni, la funzione d’onda antisimmetrica è costruita come un determinante di Slater:
\( \Psi_A(x_1, ..., x_N) = \frac{1}{\sqrt{N!}}
\begin{vmatrix}
\varphi_1(x_1) & \varphi_1(x_2) & \cdots & \varphi_1(x_N) \\
\varphi_2(x_1) & \varphi_2(x_2) & \cdots & \varphi_2(x_N) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\varphi_N(x_1) & \varphi_N(x_2) & \cdots & \varphi_N(x_N)
\end{vmatrix}
\)
Questo determinante si annulla se due colonne o righe sono uguali → nessun fermione può stare nello stesso stato.
Esempio (N=2):
- Bosoni: stato simmetrizzato
\( \Psi_S(x_1, x_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} [\varphi_a(x_1)\varphi_b(x_2) + \varphi_a(x_2)\varphi_b(x_1)] \)
- Fermioni: stato antisimmetrizzato
\( \Psi_A(x_1, x_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} [\varphi_a(x_1)\varphi_b(x_2) - \varphi_a(x_2)\varphi_b(x_1)] \)
Per un sistema generico di \(N\) fermioni, la funzione d’onda antisimmetrica è data dal determinante di Slater:
\[ \Psi_A(q_1, \ldots, q_N) = \frac{1}{\sqrt{N!}} \begin{vmatrix} u_1(q_1) & u_2(q_1) & \cdots & u_N(q_1) \\ u_1(q_2) & u_2(q_2) & \cdots & u_N(q_2) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ u_1(q_N) & u_2(q_N) & \cdots & u_N(q_N) \\ \end{vmatrix} \] Se due colonne del determinante coincidono (ovvero, due particelle nello stesso stato \(u_k\)), allora per le proprietà del determinante si ha
\[ \Psi_A = 0 \] \(\textbf{Principio di Pauli:}\) Due (o +) fermioni identici non possono occupare lo stesso stato quantico.
\[ \Psi_A(q_1, \ldots, q_N) = \frac{1}{\sqrt{N!}} \begin{vmatrix} u_1(q_1) & u_2(q_1) & \cdots & u_N(q_1) \\ u_1(q_2) & u_2(q_2) & \cdots & u_N(q_2) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ u_1(q_N) & u_2(q_N) & \cdots & u_N(q_N) \\ \end{vmatrix} \] Se due colonne del determinante coincidono (ovvero, due particelle nello stesso stato \(u_k\)), allora per le proprietà del determinante si ha
\[ \Psi_A = 0 \] \(\textbf{Principio di Pauli:}\) Due (o +) fermioni identici non possono occupare lo stesso stato quantico.
Principio di esclusione di Pauli (1925):
N fermioni identici → ψ dato dal determinante di Slater.
Prendiamo due elettroni con lo stesso set di numeri quantici, ad es. α-β.
Per N fermioni identici, quindi, due fermioni con gli stessi numeri quantici, cioè con stesso set di n, l, m, s, non possono coesistere.
Solo un fermione può occupare uno stato / set di numeri quantici!
N fermioni identici → ψ dato dal determinante di Slater.
Prendiamo due elettroni con lo stesso set di numeri quantici, ad es. α-β.
Per N fermioni identici, quindi, due fermioni con gli stessi numeri quantici, cioè con stesso set di n, l, m, s, non possono coesistere.
Solo un fermione può occupare uno stato / set di numeri quantici!
blu le mille bolle
Struttura atomica:
La funzione d’onda totale per più elettroni si scrive come prodotto tra una parte spaziale e una parte di spin, cioè dipende sia dalle coordinate di posizione (\(\vec{r}_i\)) che dallo spin (\(\chi_i\)). Si indica spesso la variabile combinata \(q_i = (\vec{r}_i, \chi_i)\).
Scambio:
Se scambiamo due elettroni identici, la funzione d’onda totale deve cambiare segno (antisimmetria) per i fermioni, secondo il principio di Pauli.
Stato di spin:
Gli stati di spin possibili per due elettroni sono il singoletto e il tripletto. Il singoletto è antisimmetrico rispetto allo scambio, il tripletto è simmetrico. Questo si riflette nella simmetria o antisimmetria della parte spaziale della funzione d’onda.
Effetto dello scambio:
Scambiare due elettroni in uno stato di singoletto inverte il segno della funzione di spin, mentre per il tripletto resta invariato. Ma la funzione d’onda totale deve essere sempre antisimmetrica! Quindi:
Se la parte spaziale della funzione d’onda è fortemente localizzata (simmetrica), la parte di spin deve cambiare segno per rispettare l’antisimmetria totale imposta dal principio di Pauli.
Nota sulle coordinate generali:
In generale, si usa la notazione \(q_i = (\vec{r}_i, \chi_i)\), cioè ogni "variabile" è composta dalla posizione spaziale e dallo stato di spin dell’i-esima particella. Tutta la funzione d’onda (anche il determinante di Slater) si intende quindi scritta sulle variabili generali \(q_1, \ldots, q_N\).
- H: 1e⁻ → 1s (spin ↑ o ↓) (Un elettrone può occupare il livello 1s e avere spin up oppure down: sono le due possibilità distinte per l'elettrone nell'idrogeno.)
- He: 2e⁻ → 1s² (↑↓) (Nel caso dell’elio, i due elettroni occupano entrambi lo stato 1s, ma con spin opposti: il principio di Pauli permette questo perché gli spin sono diversi.)
- Li: 3e⁻ → 1s² 2s (↑↓, ↑) (Per il litio, due elettroni vanno in 1s con spin opposti, il terzo va in 2s: ogni stato quantico può essere occupato da al massimo un fermione per ogni valore possibile di spin.)
La funzione d’onda totale per più elettroni si scrive come prodotto tra una parte spaziale e una parte di spin, cioè dipende sia dalle coordinate di posizione (\(\vec{r}_i\)) che dallo spin (\(\chi_i\)). Si indica spesso la variabile combinata \(q_i = (\vec{r}_i, \chi_i)\).
\( \Psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2) \cdot \chi \)
La funzione d’onda dipende quindi sia dalla posizione che dallo spin degli elettroni.
Scambio:
Se scambiamo due elettroni identici, la funzione d’onda totale deve cambiare segno (antisimmetria) per i fermioni, secondo il principio di Pauli.
Stato di spin:
Gli stati di spin possibili per due elettroni sono il singoletto e il tripletto. Il singoletto è antisimmetrico rispetto allo scambio, il tripletto è simmetrico. Questo si riflette nella simmetria o antisimmetria della parte spaziale della funzione d’onda.
\( \chi_S = \frac{1}{\sqrt{2}} (|\uparrow \downarrow\rangle - |\downarrow \uparrow\rangle) \) (singoletto)
\( \chi_T = \frac{1}{\sqrt{2}} (|\uparrow \downarrow\rangle + |\downarrow \uparrow\rangle) \) (tripletto)
Il singoletto rappresenta uno stato di spin totale zero (antisimmetrico), il tripletto uno stato di spin totale uno (simmetrico).
Effetto dello scambio:
Scambiare due elettroni in uno stato di singoletto inverte il segno della funzione di spin, mentre per il tripletto resta invariato. Ma la funzione d’onda totale deve essere sempre antisimmetrica! Quindi:
- Se la parte spaziale è simmetrica, la parte di spin dev’essere antisimmetrica (singoletto).
- Se la parte spaziale è antisimmetrica, la parte di spin dev’essere simmetrica (tripletto).
Se la parte spaziale della funzione d’onda è fortemente localizzata (simmetrica), la parte di spin deve cambiare segno per rispettare l’antisimmetria totale imposta dal principio di Pauli.
Nota sulle coordinate generali:
In generale, si usa la notazione \(q_i = (\vec{r}_i, \chi_i)\), cioè ogni "variabile" è composta dalla posizione spaziale e dallo stato di spin dell’i-esima particella. Tutta la funzione d’onda (anche il determinante di Slater) si intende quindi scritta sulle variabili generali \(q_1, \ldots, q_N\).