Atomo Idrogenoide e Equazione di Kummer-Laplace

Esplorazione quantistica degli atomi monoelettronici e soluzione dell'equazione radiale

Derivazione rigorosa: dal potenziale coulombiano a Kummer e ai Laguerre associati

Notazione e punto di partenza

Coordinate sferiche su \( \mathbb{R}^3 \): \( \vec{r}=(r,\theta,\phi) \). Operatore Laplaciano:

\[ \nabla^2=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right) +\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\!\left(\sin\theta\,\frac{\partial}{\partial \theta}\right) +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}. \]

Potenziale coulombiano centrale: \(V(r)=-\dfrac{Z e^2}{4\pi\varepsilon_0\,r}\). Equazione di Schrödinger stazionaria con massa ridotta \( \mu \):

\[ -\frac{\hbar^2}{2\mu}\,\nabla^2\Psi(\vec{r})+V(r)\,\Psi(\vec{r})=E\,\Psi(\vec{r}). \]
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Separazione delle variabili e potenziale efficace

Con simmetria sferica si pone \( \Psi_{E\ell m}(\vec{r})=R_{E\ell}(r)\,Y_{\ell m}(\theta,\phi) \) con \(Y_{\ell m}\) armoniche sferiche. Definendo \(u_{E\ell}(r)=r\,R_{E\ell}(r)\), l’equazione radiale diventa:

\[ -\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d^2u}{dr^2}+ \underbrace{\left[ V(r)+\frac{\hbar^2\,\ell(\ell+1)}{2\mu\,r^2} \right]}_{V_{\mathrm{eff}}(r)} u(r)=E\,u(r). \]

Regolarità all’origine \(r\to 0\): il termine centrifugo domina. Cercando \(u\sim r^{s}\) si ottiene l’equazione indiciale \(s(s-1)-\ell(\ell+1)=0\) con soluzioni \(s=\ell+1\) e \(s=-\ell\). Si seleziona il ramo fisico \(u(r)\propto r^{\ell+1}\) per avere \(R(r)=u/r\) finita.

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Variabili adimensionali e parametro energetico

Stati legati \(E<0\). Introduciamo

\[ \kappa=\frac{\sqrt{-2\mu E}}{\hbar},\qquad \rho=2\kappa r,\qquad \lambda=\frac{\mu}{\hbar^2\kappa}\,\frac{Z e^2}{4\pi\varepsilon_0} =\frac{Z e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar}\sqrt{\frac{-\mu}{2E}}. \]

Con queste definizioni l’equazione radiale è

\[ \frac{d^2u}{d\rho^2} +\left(-\frac{1}{4}+\frac{\lambda}{\rho}-\frac{\ell(\ell+1)}{\rho^2}\right)u=0. \]

Asintotica per \( \rho\to\infty \): \(u''-\dfrac{1}{4}u\simeq 0\) quindi \(u\sim A\,e^{+\rho/2}+B\,e^{-\rho/2}\). La normalizzabilità impone \(A=0\).

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Estrazione del comportamento dominante e riduzione a Kummer

Si estrae il decadimento esponenziale e la potenza regolare:

\[ u(\rho)=e^{-\rho/2}\,\rho^{\ell+1}\,g(\rho). \]

Sostituendo e semplificando i termini derivativi si ottiene

\[ \boxed{\rho\,g''(\rho)+(2\ell+2-\rho)\,g'(\rho)+(\lambda-\ell-1)\,g(\rho)=0}. \]

Questa è l’equazione ipergeometrica confluente di Kummer nella forma \( z w''+(b-z)w'-a\,w=0 \) con \( a=\ell+1-\lambda \) e \( b=2\ell+2 \).

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Soluzione in serie, ricorrenza e terminazione

Cercando \( g(\rho)=\sum_{k=0}^{\infty}c_k\,\rho^{k} \) e allineando le potenze, la ricorrenza tra coefficienti è:

\[ \boxed{c_{k+1}=\frac{k+\ell+1-\lambda}{(k+1)(k+2\ell+2)}\,c_k},\qquad k\ge 0. \]

Per \(k\to\infty\) si ha \(c_{k+1}/c_k\sim 1/k\) che genera \(g(\rho)\sim e^{\rho}\). Per garantire \(u(\rho)=e^{-\rho/2}\rho^{\ell+1}g(\rho)\) normalizzabile, la serie deve terminare: esiste \(n_r\in\mathbb{N}_0\) tale che \(k+\ell+1-\lambda=0\) per \(k=n_r\).

\[ \boxed{\lambda=\ell+1+n_r\equiv n} \quad\Rightarrow\quad g(\rho)\ \text{polinomio}\ L^{(2\ell+1)}_{\,n-\ell-1}(\rho). \]
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Autofunzioni radiali e spettro energetico

Scrivendo il raggio di Bohr effettivo \(a_\mu=\dfrac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{\mu e^2}\) e \( \rho=\dfrac{2Zr}{n a_\mu} \), le autofunzioni radiali normalizzate sono

\[ R_{n\ell}(r)=\frac{2}{n a_\mu} \sqrt{\frac{(n-\ell-1)!}{(n+\ell)!}}\; e^{-r/(n a_\mu)}\, \left(\tfrac{2r}{n a_\mu}\right)^{\ell}\, L^{(2\ell+1)}_{\,n-\ell-1}\!\left(\tfrac{2r}{n a_\mu}\right). \]

Livelli energetici quantizzati:

\[ \boxed{E_n=-\frac{\mu Z^2 e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2}\,\frac{1}{n^2} =-\frac{\mu}{m_e}\,\frac{Z^2\,\mathrm{Ry}}{n^2}},\qquad n=\ell+1+n_r. \]

Numero di nodi radiali \(=\ n-\ell-1\). A parità di \(n\) l’energia non dipende da \(\ell\) e \(m\). Degenerazione del livello \(n\): \(g_n=\sum_{\ell=0}^{n-1}(2\ell+1)=\boxed{n^2}\).

Richiami dagli appunti allegati

Regolarità e metodo di Frobenius

Appunti: regolarità e Frobenius

Equazione indiciale \(s(s-1)-\ell(\ell+1)=0\). Selezione del ramo \(s=\ell+1\) per evitare divergenze all’origine.

Variabili \(\rho,\lambda\), ansatz e condizione \(\lambda=n\)

Appunti: variabili adimensionali e Kummer

Riduzione a \( \rho g''+(2\ell+2-\rho)g'+(\lambda-\ell-1)g=0 \). Terminazione della serie e Laguerre associati \(L^{(2\ell+1)}_{\,n-\ell-1}\).

Messaggio chiave

Normalizzabilità \(\Rightarrow\) fattore \(e^{-\rho/2}\). Regolarità all’origine \(\Rightarrow\) fattore \(\rho^{\ell+1}\). Terminazione della serie di Kummer \(\Rightarrow\) polinomi di Laguerre associati e quantizzazione \(n=\ell+1+n_r\) con \(E_n\propto -1/n^2\).

Atomi Idrogenoidi in Meccanica Quantistica

Gli atomi idrogenoidi sono sistemi atomici costituiti da un nucleo con carica +Ze e un singolo elettrone. Questi includono:

Idrogeno (H)

Z = 1

Elio ionizzato (He⁺)

Z = 2

Litio doppiamente ionizzato (Li²⁺)

Z = 3

Berillio tripliamente ionizzato (Be³⁺)

Z = 4

Questi sistemi rappresentano i casi più semplici per lo studio della meccanica quantistica in tre dimensioni, poiché il potenziale coulombiano permette una soluzione analitica completa dell'equazione di Schrödinger.

Separazione delle Variabili

Per risolvere l'equazione di Schrödinger per l'atomo idrogenoide, sfruttiamo la simmetria sferica del sistema. La funzione d'onda totale può essere separata in:

\[ \Psi(r, \theta, \phi) = R(r) \cdot Y_{\ell m}(\theta, \phi) \]

Dove:

  • \( R(r) \) è la parte radiale della funzione d'onda
  • \( Y_{\ell m}(\theta, \phi) \) sono le armoniche sferiche (parte angolare)

Equazione di Schrödinger per Potenziali Centrali

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Equazione Completa

L'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo per un potenziale centrale:

\[ -\frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla^2 \psi + V(r) \psi = E \psi \]

dove \( \mu \) è la massa ridotta del sistema.

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Separazione in Coordinate Sferiche

Sostituendo l'operatore Laplaciano in coordinate sferiche:

\[ \nabla^2 = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2} \]
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Equazione Radiale

Dopo la separazione delle variabili, otteniamo l'equazione radiale:

\[ -\frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{d^2 u}{dr^2} + \left[ V(r) + \frac{\hbar^2 \ell(\ell+1)}{2\mu r^2} \right] u = E u \]

dove \( u(r) = r R(r) \) e \( \ell \) è il numero quantico angolare.

Potenziale Coulombiano

Per l'atomo idrogenoide, il potenziale è di tipo coulombiano:

\[ V(r) = -\frac{Z e^2}{4\pi \varepsilon_0 r} \]
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L'Equazione di Kummer-Laplace

Appunti
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Sostituzione di Variabili

Per semplificare l'equazione radiale, introduciamo nuove variabili:

\[ \rho = \frac{2Z r}{a_0 n}, \quad a_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{\mu e^2} \]

dove \( a_0 \) è il raggio di Bohr e \( n \) è il numero quantico principale.

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Forma dell'Equazione

Con la sostituzione \( u(\rho) = \rho^{\ell+1} e^{-\rho/2} g(\rho) \), otteniamo:

\[ \rho \frac{d^2 g}{d\rho^2} + (2\ell + 2 - \rho) \frac{dg}{d\rho} + (n - \ell - 1) g = 0 \]
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Equazione di Kummer

Questa è l'equazione di Kummer o equazione ipergeometrica confluente:

\[ z \frac{d^2 w}{dz^2} + (b - z) \frac{dw}{dz} - a w = 0 \]

Le cui soluzioni sono le funzioni ipergeometriche confluenti \( _1F_1(a; b; z) \).

Soluzione Generale

\[ g(\rho) = A \cdot _1F_1(\ell + 1 - n; 2\ell + 2; \rho) \]

dove A è una costante di normalizzazione.

Contesto Storico

Ernst Kummer (1810-1893)

Matematico tedesco che studiò le equazioni differenziali ipergeometriche e sviluppò la teoria delle funzioni ipergeometriche confluenti.

Pierre-Simon Laplace (1749-1827)

Matematico e astronomo francese, contribuì alla teoria del potenziale e alla meccanica celeste, con applicazioni alla fisica matematica.

Erwin Schrödinger (1887-1961)

Formulò l'equazione d'onda della meccanica quantistica nel 1926, aprendo la strada alla soluzione per l'atomo di idrogeno.

Soluzioni e Polinomi di Laguerre

Condizione di Quantizzazione

Affinché la soluzione sia accettabile fisicamente (finita e normalizzabile), il parametro \( a \) della funzione ipergeometrica confluente deve essere un intero non positivo:

\[ \ell + 1 - n = -n_r, \quad n_r = 0, 1, 2, \ldots \]

dove \( n_r \) è il numero quantico radiale.

Relazione tra Numeri Quantici

\[ n = n_r + \ell + 1 \]

dove \( n \) è il numero quantico principale (\( n = 1, 2, 3, \ldots \)).

Polinomi di Laguerre Associati

Quando la funzione ipergeometrica confluente termina (diventa un polinomio), la soluzione si esprime in termini di polinomi di Laguerre associati:

\[ R_{n\ell}(r) = \sqrt{{\left( \frac{2Z}{na_0} \right)}^3 \frac{(n-\ell-1)!}{2n[(n+\ell)!]^3}} e^{-\rho/2} \rho^{\ell} L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}(\rho) \]
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Applicazioni e Approfondimenti

Struttura Fina e Spin

Per una descrizione più accurata, dobbiamo considerare effetti relativistici e lo spin dell'elettrone:

\[ H = H_0 + H_{rel} + H_{SO} + H_D \]

dove:

Effetto Zeeman

In presenza di un campo magnetico esterno, i livelli energetici si separano ulteriormente (effetto Zeeman):

\[ \Delta E = \mu_B g_J m_J B \]

dove \( \mu_B \) è il magnetone di Bohr, \( g_J \) è il fattore di Landé, e \( m_J \) è il numero quantico magnetico totale.

Risorse per Approfondire

Polinomi Ortogonali

Polinomi di Laguerre, Legendre e Hermite con applicazioni in meccanica quantistica.

Equazioni Differenziali II Ordine

Punti regolari e singolari, metodo di Frobenius, soluzioni in serie di potenze.

Spin e Particelle Identiche

Principio di esclusione di Pauli, determinante di Slater, funzioni d'onda simmetriche e antisimmetriche.

Perturbazioni Stazionarie

Teoria delle perturbazioni per livelli degeneri e non degeneri, struttura fine dell'atomo di idrogeno.

Appunti Completi (PDF) Schede Riassuntive Esercizi Risolti