Armoniche Sferiche
Definizione e contesto
Le armoniche sferiche sono funzioni ortonormali definite sulla superficie di una sfera. Esse compaiono naturalmente nella soluzione dell'equazione di Schrödinger per il momento angolare e sono espresse come funzioni delle coordinate angolari \((\theta, \phi)\). Si scrivono come:
\[
Y_{\ell}^{m}(\theta, \phi) = \sqrt{\frac{(2\ell+1)}{4\pi} \frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}} P_{\ell}^{m}(\cos\theta) e^{i m \phi}
\]
dove \(P_{\ell}^{m}(\cos\theta)\) sono i polinomi associati di Legendre, \(\ell\) è il numero quantico del momento angolare totale e \(m\) è il numero quantico del momento angolare proiettato sull'asse \(z\).
Proprietà delle armoniche sferiche
- Ortonormalità: Le armoniche sferiche soddisfano la relazione di ortonormalità:
\[
\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} Y_{\ell}^{m}(\theta, \phi) Y_{\ell'}^{m'*}(\theta, \phi) \sin\theta \, d\theta \, d\phi = \delta_{\ell \ell'} \delta_{m m'}
\]
- Completeness: Qualsiasi funzione definita sulla superficie di una sfera può essere espansa come combinazione lineare di armoniche sferiche:
\[
f(\theta, \phi) = \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} c_{\ell m} Y_{\ell}^{m}(\theta, \phi)
\]
Momento angolare in coordinate sferiche
L'operatore momento angolare quadratico \(L^2\) agisce sulle armoniche sferiche come:
\[
L^2 Y_{\ell}^{m}(\theta, \phi) = \hbar^2 \ell (\ell+1) Y_{\ell}^{m}(\theta, \phi)
\]
mentre la componente \(L_z\) soddisfa:
\[
L_z Y_{\ell}^{m}(\theta, \phi) = \hbar m Y_{\ell}^{m}(\theta, \phi)
\]
Importanza nelle soluzioni dell'equazione di Schrödinger
Le armoniche sferiche sono essenziali nella soluzione dell'equazione di Schrödinger in coordinate sferiche per problemi di simmetria centrale, come nel caso dell'atomo di idrogeno. La funzione d'onda totale è espressa come:
\[
\psi(r, \theta, \phi) = R(r) Y_{\ell}^{m}(\theta, \phi)
\]
dove \(R(r)\) è la parte radiale della funzione d'onda.
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