Atomo di Idrogeno
Introduzione
L'atomo di idrogeno è il sistema quantistico più semplice e uno dei modelli fondamentali per la comprensione della meccanica quantistica. La descrizione teorica si basa sull'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo per un potenziale centrale.
Equazione di Schrödinger in coordinate sferiche
L'equazione di Schrödinger per un elettrone in un potenziale coulombiano è:
\[
-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi + V(r)\psi = E\psi
\]
dove il potenziale \( V(r) \) è dato da:
\[
V(r) = -\frac{Ze^2}{4\pi \epsilon_0 r}
\]
In coordinate sferiche, l'equazione si separa in tre parti: radiale, angolare e azimutale.
Separazione delle variabili
La funzione d'onda totale è espressa come:
\[
\psi(r, \theta, \phi) = R(r) Y(\theta, \phi)
\]
dove:
- \( R(r) \): Parte radiale
- \( Y(\theta, \phi) \): Armoniche sferiche, che dipendono dagli angoli \(\theta\) e \(\phi\)
Parte radiale
La parte radiale è descritta da:
\[
\frac{d^2 u}{dr^2} + \left[ 2m \left( E + \frac{Ze^2}{4\pi \epsilon_0 r} \right) - \frac{l(l+1)}{r^2} \right] u = 0
\]
dove \( u(r) = r R(r) \) e \( l \) è il numero quantico angolare.
Armoniche sferiche
Le soluzioni angolari sono le armoniche sferiche:
\[
Y_l^m(\theta, \phi) = \sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi} \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P_l^m(\cos\theta) e^{im\phi}
\]
dove:
- \( l \): Numero quantico angolare (\( l = 0, 1, 2, \ldots \))
- \( m \): Numero quantico magnetico (\( -l \leq m \leq l \))
- \( P_l^m \): Polinomi associati di Legendre
Livelli energetici
I livelli energetici dell'atomo di idrogeno sono dati da:
\[
E_n = -\frac{Z^2 e^4 m}{8 \epsilon_0^2 h^2 n^2}
\]
dove \( n = 1, 2, 3, \ldots \) è il numero quantico principale. Questo risultato predice con precisione lo spettro dell'atomo di idrogeno.
Osservazioni
La separazione delle variabili consente di trattare il problema con una complessità ridotta, isolando i contributi radiali e angolari. I livelli energetici discreti riflettono la quantizzazione della natura.
Parte radiale
La parte radiale deriva dall'equazione di Schrödinger separata. Introducendo \( u(r) = r R(r) \), l'equazione radiale assume la forma:
\[
\frac{d^2 u}{dr^2} + \left[ \frac{2mE}{\hbar^2} + \frac{2mZe^2}{4\pi \epsilon_0 \hbar^2 r} - \frac{l(l+1)}{r^2} \right] u = 0
\]
Questo è un problema agli autovalori, con \( E \) che rappresenta gli autovalori energetici. Per risolverlo:
- Si considera un cambiamento di variabile: \( \rho = \frac{2Zr}{na_0} \), dove \( a_0 \) è il raggio di Bohr.
- Si scrive \( u(\rho) = \rho^l e^{-\rho/2} v(\rho) \), separando il comportamento asintotico e il termine polinomiale.
L'equazione diventa:
\[
\rho \frac{d^2 v}{d\rho^2} + (2l+1 - \rho) \frac{dv}{d\rho} + \left( n - l - 1 \right) v = 0
\]
Le soluzioni \( v(\rho) \) sono polinomi generalizzati di Laguerre \( L_{n-l-1}^{2l+1}(\rho) \), dove il numero quantico principale \( n \) è intero e \( n > l \).
Livelli energetici
Gli autovalori dell'energia sono discreti e dati da:
\[
E_n = -\frac{Z^2 e^4 m}{8 \epsilon_0^2 h^2 n^2}
\]
Questo risultato mostra che l'energia dipende unicamente dal numero quantico principale \( n \), rendendo gli altri numeri quantici irrilevanti per il valore dell'energia.
Probabilità radiale
La densità di probabilità radiale \( P(r) \) è definita come:
\[
P(r) = r^2 |R(r)|^2
\]
Questo termine tiene conto del volume sferico e indica dove è più probabile trovare l'elettrone. Per il livello fondamentale (\( n = 1, l = 0 \)), la probabilità massima si verifica a \( r = a_0 \), che è il raggio di Bohr.
Armoniche sferiche
Le soluzioni angolari dell'equazione di Schrödinger sono armoniche sferiche \( Y_l^m(\theta, \phi) \), che dipendono dai numeri quantici \( l \) (momento angolare orbitale) e \( m \) (momento angolare magnetico). La funzione generale è data da:
\[
Y_l^m(\theta, \phi) = \sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi} \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P_l^m(\cos\theta) e^{im\phi}
\]
dove \( P_l^m(\cos\theta) \) sono i polinomi associati di Legendre.
Considerazioni finali
La separazione delle variabili e la natura discreta degli autovalori energetici riflettono la quantizzazione dell'energia nell'atomo di idrogeno. Questo modello non solo predice con precisione gli spettri atomici, ma fornisce una base per comprendere sistemi atomici più complessi.
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