Autofunzioni ed Autovalori
Introduzione
L'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo è una delle pietre miliari della meccanica quantistica. Essa descrive gli stati stazionari di un sistema quantistico e si esprime come:
\[
\hat{H} \psi = E \psi
\]
dove \( \hat{H} \) è l'operatore hamiltoniano, \( \psi \) è la funzione d'onda del sistema (autofunzione) e \( E \) è l'energia associata (autovalore).
Autofunzioni
Le autofunzioni \( \psi \) dell'hamiltoniano rappresentano gli stati stazionari del sistema, cioè gli stati in cui la probabilità di trovare la particella in una determinata posizione non dipende dal tempo. Una funzione d'onda \( \psi(x) \) è considerata un'autofunzione se soddisfa l'equazione:
\[
\hat{H} \psi(x) = E \psi(x)
\]
Le autofunzioni devono essere normalizzabili:
\[
\int |\psi(x)|^2 dx = 1
\]
Autovalori
Gli autovalori \( E \) corrispondono alle energie quantizzate che il sistema può assumere. Essi dipendono dalla forma del potenziale \( V(x) \) e sono ottenuti risolvendo l'equazione di Schrödinger per un dato sistema. Ad esempio:
- Per una buca di potenziale infinita, gli autovalori sono dati da:
\[
E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 m L^2}
\]
dove \( n \) è il numero quantico principale, \( m \) la massa della particella e \( L \) la larghezza della buca.
- Per un oscillatore armonico, gli autovalori sono:
\[
E_n = \left( n + \frac{1}{2} \right) \hbar \omega
\]
dove \( \omega \) è la frequenza angolare e \( n = 0, 1, 2, \ldots \).
Interpretazione fisica
Gli autovalori rappresentano i livelli energetici discreti del sistema quantistico. Le autofunzioni descrivono la distribuzione spaziale della probabilità di trovare la particella. La probabilità è calcolata come:
\[
P(x) = |\psi(x)|^2
\]
Esempio: Buca di potenziale infinita
Consideriamo una particella in una buca di potenziale infinita, con potenziale:
\[
V(x) =
\begin{cases}
0 & \text{se } 0 \leq x \leq L \\
\infty & \text{altrimenti}
\end{cases}
\]
Le autofunzioni sono:
\[
\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right)
\]
e gli autovalori associati sono:
\[
E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 m L^2}
\]
Proprietà delle autofunzioni
- Le autofunzioni corrispondenti a diversi autovalori sono ortogonali:
\[
\int \psi_n(x) \psi_m(x) dx = 0 \quad \text{se } n \neq m
\]
- Formano una base completa per lo spazio degli stati, consentendo di rappresentare qualsiasi stato quantistico come combinazione lineare delle autofunzioni:
\[
\psi(x) = \sum_n c_n \psi_n(x)
\]
Ritorna all'Indice