Barriera di Potenziale
Descrizione del problema
La barriera di potenziale è un caso fondamentale in meccanica quantistica per descrivere il comportamento di una particella che incontra un potenziale definito come:
\[
V(x) =
\begin{cases}
0 & \text{se } x < 0 \\
V_0 & \text{se } 0 \leq x \leq a \\
0 & \text{se } x > a
\end{cases}
\]
La particella, con energia totale \(E\), può attraversare la barriera anche se \(E < V_0\), un fenomeno noto come effetto tunnel.
Equazione di Schrödinger
L'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo per la particella è:
\[
\frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + \frac{2m}{\hbar^2}(E - V(x))\psi(x) = 0
\]
La soluzione generale si ottiene risolvendo questa equazione nelle tre regioni:
- Regione I (\(x < 0\)): \( \psi_1(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx} \), con \( k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} \).
- Regione II (\(0 \leq x \leq a\)): \( \psi_2(x) = C e^{\kappa x} + D e^{-\kappa x} \), con \( \kappa = \sqrt{\frac{2m(V_0 - E)}{\hbar^2}} \).
- Regione III (\(x > a\)): \( \psi_3(x) = F e^{ikx} \).
Condizioni al contorno
Le soluzioni vengono unite imponendo continuità della funzione d'onda \( \psi(x) \) e della sua derivata \( \frac{d\psi}{dx} \) ai punti \( x = 0 \) e \( x = a \). Questo porta a un sistema di equazioni lineari per determinare i coefficienti \( A, B, C, D, F \).
Coefficiente di trasmissione
Il coefficiente di trasmissione \( T \) misura la probabilità che la particella attraversi la barriera:
\[
T = \frac{|F|^2}{|A|^2}
\]
Per \( E < V_0 \), il coefficiente di trasmissione è dato da:
\[
T = \frac{e^{-2\kappa a}}{1 + \frac{V_0^2 \sinh^2(\kappa a)}{4E(V_0 - E)}}
\]
Significato fisico
L'effetto tunnel, reso possibile dalla natura ondulatoria della particella, ha implicazioni fondamentali nella fisica moderna:
- Spiega il funzionamento di dispositivi come i microscopi a effetto tunnel.
- È essenziale per comprendere fenomeni nucleari come il decadimento alfa.
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