Barriera di Potenziale

La barriera di potenziale è un caso classico per comprendere i fenomeni tipici della meccanica quantistica, come la tunnelizzazione e la parziale riflessione e trasmissione di onde di materia attraverso regioni energeticamente “scomode”. Immaginiamo una particella incidente su una barriera di potenziale di altezza \(V_0\) e ampiezza finita \(a\). A differenza del gradino di potenziale, qui la particella non incontra un salto istantaneo del potenziale, ma una regione spaziale limitata in cui l’energia potenziale è maggiore o differente da quella circostante.

Classicamente, se l’energia della particella è inferiore alla sommità della barriera, essa verrebbe completamente riflessa, senza attraversarla. In meccanica quantistica, la natura ondulatoria fa sì che esista una probabilità, talvolta anche piccola ma non nulla, di trovare la particella oltre la barriera, anche se la sua energia non supera \(V_0\). Questo fenomeno è il tunneling quantistico.

Descrizione Generale

Consideriamo un potenziale monodimensionale che vale zero per \(x<0\) e \(x>a\), mentre è costante e pari a \(V_0\) nella regione \(0 < x < a\). Una particella con energia \(E\) incide da sinistra. Possiamo distinguere tre regioni:

Il rapporto tra l’ampiezza dell’onda trasmessa e quella incidente fornisce i coefficienti di trasmissione e riflessione. Il risultato chiave è che, a differenza della fisica classica, non esiste uno scenario in cui la particella sia sempre bloccata, a meno di potenziali estremi (come una barriera infinita).

Tunneling Quantistico

Il fenomeno di tunneling è l’essenza quantistica della barriera di potenziale. Se l’energia \(E\) della particella è minore di \(V_0\), classicamente non potrebbe superare la barriera. In ambito quantistico, la funzione d’onda si “infiltra” nella regione proibita, decrescendo esponenzialmente. Una parte dell’onda ne esce dall’altro lato, garantendo una probabilità finita di trasmissione.

Questo fenomeno ha applicazioni fondamentali in numerosi processi fisici: dal decadimento radioattivo all’effetto tunnel nelle giunzioni Josephson, dalla microscopia a effetto tunnel (STM) al funzionamento di dispositivi elettronici a semiconduttore.

Alla Lavagna

1. Disegna l’asse \(x\) e rappresenta una barriera rettangolare: - \(V(x)=0\) per \(x<0\) e \(x>a\). - \(V(x)=V_0\) per \(0
2. Una particella con energia \(E\) incide da sinistra. Se \(E "<" V_0\), classicamente impossibile il passaggio. Ma in MQ, la funzione d’onda nella barriera è \(\psi_2(x)\sim e^{-\kappa x}\), con \(\kappa>0\).

3. Questo smorzamento esponenziale non è immediatamente zero, quindi \(\psi\) non si annulla alla fine della barriera: rispunta nell’altra regione dando un’onda trasmessa.

4. Mostra due coefficienti: \(T\) per la trasmissione e \(R\) per la riflessione. Spiega che \(R+T=1\), conservazione della probabilità. Contrariamente alla fisica classica, \(T\) non è nullo neanche per \(E, è minore di, V_0\).

Effetti Classici e Limiti

Per energie molto grandi rispetto a \(V_0\), la trasmissione tende a comportarsi in modo classico, diventando quasi certa, e la riflessione è rara. Per barriere molto larghe o molto alte, invece, la penetrazione diventa estremamente piccola e recuperiamo il comportamento classico di riflessione quasi totale.

La barriera di potenziale, dunque, è un banco di prova per comprendere l’essenza probabilistica e non deterministica della meccanica quantistica, fornendo un esempio lampante di come la natura ondulatoria della materia porti a effetti controintuitivi rispetto alla fisica classica.

Approccio Matematico nel Dettaglio

Una particella con energia \(E\) incidente da sinistra. Definiamo: \[ k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}, \quad q = \frac{\sqrt{2m(E - V_0)}}{\hbar} \] a seconda che \(E > V_0\) o \(E < V_0\). Se \(E < V_0\), al posto di \(q\) useremo: \[ \kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar}, \] che rappresenta il decadimento esponenziale della funzione d’onda nella barriera.

Soluzione per le Tre Regioni

1. Regione 1 ( \(x<0\) ): Scriviamo la soluzione come: \[ \psi_1(x) = e^{ikx} + R e^{-ikx} \] dove il primo termine rappresenta l’onda incidente, il secondo l’onda riflessa. \(R\) è l’ampiezza del coefficiente di riflessione. 2. Regione 2 ( \(0 \le x \le a\) ): Se \(E < V_0\), la soluzione prende la forma: \[ \psi_2(x) = A e^{-\kappa x} + B e^{\kappa x} \] Essendo la barriera finita, non vogliamo instabilità: se pensiamo a una particella che viene da sinistra, normalmente imponiamo che non vi sia un’onda “che cresce esponenzialmente” verso destra, per mantenere la funzione d’onda fisicamente accettabile. Questo generalmente fissa una delle costanti, ad esempio \(B=0\) se ragioniamo sulla direzione dell’incidente. Tuttavia, qui la barriera è racchiusa fra 0 e a, quindi non possiamo eliminare banalmente il termine. In realtà, avremo due costanti \(A\) e \(B\) da determinare dal matching delle condizioni al contorno. Se \(E > V_0\), invece: \[ \psi_2(x) = C e^{iqx} + D e^{-iqx} \] con \(q = \sqrt{2m(E-V_0)}/\hbar\). Anche qui, \(C\) e \(D\) sono costanti da determinare. 3. Regione 3 ( \(x > a\) ): Dopo la barriera, la particella può passare, quindi la soluzione è: \[ \psi_3(x) = T e^{ikx} \] Qui non c’è onda che viene da destra, assumiamo che l’incidente provenga solo da sinistra. \(T\) è l’ampiezza del coefficiente di trasmissione.

Condizioni di Continuità

Per determinare \(R\), \(T\) e le altre costanti, imponiamo continuità di \(\psi\) e della sua derivata \(\psi'\) alle interfacce \(x=0\) e \(x=a\). Ciò produce un sistema di quattro equazioni lineari con quattro incognite (ad esempio \(R, A, B, T\) nel caso \(E < V_0\)).

- A \(x=0\): \[ \psi_1(0) = \psi_2(0), \quad \psi_1'(0) = \psi_2'(0). \] - A \(x=a\): \[ \psi_2(a) = \psi_3(a), \quad \psi_2'(a) = \psi_3'(a). \]

Risolvendo questo sistema si ottengono espressioni per i coefficienti di riflessione \(R\) e trasmissione \(T\). La quantità di maggiore interesse fisico è il modulo quadro di questi coefficienti, da cui si ricava la probabilità di riflessione \(|R|^2\) e la probabilità di trasmissione \(|T|^2\). A causa della conservazione della probabilità, \(|R|^2 + |T|^2 = 1\).

Tunneling per \(E < V_0\)

Se \(E < V_0\), si trova che la trasmissione non è zero. Il risultato finale mostra una dipendenza esponenziale dalla larghezza \(a\) della barriera e dal rapporto fra \(V_0 - E\). Più alta e larga la barriera, minore la trasmissione, ma mai nulla per barriere finite. Questo risultato è la firma del tunneling quantistico.

Visualizzazione Fisica

Immaginiamo di disegnare il potenziale e la funzione d’onda: prima della barriera l’onda è oscillante, all’interno è smorzata (se \(EV_0\)). Dopo la barriera, un’onda trasmessa emerge. Questo contrasto con l’intuizione classica mostra l’aspetto più radicale della meccanica quantistica: la particella non è un piccolo “proiettile” rigido ma un’onda di probabilità in grado di penetrare in regioni classicamente proibite.