Nella meccanica quantistica, la risoluzione dell’equazione di Schrödinger per varie forme di potenziale permette di studiare stati legati, scattering, e comportamenti non banali delle funzioni d’onda. Un caso insolito ma istruttivo è considerare una “buca” di potenziale con un profilo particolare, ad esempio una funzione dell’arcoseno. Questo non è un caso standard da manuale, ma serve a illustrare come, con metodi analitici o numerici, si possa affrontare un potenziale generico e ricavare le energie e autofunzioni del sistema.
Supponiamo di avere una particella di massa \(m\) sottoposta a un potenziale monodimensionale \(V(x)\) definito su un intervallo \(x \in [-a,a]\) con la forma:
\[ V(x) = \begin{cases} V_0 \arcsin\left(\frac{x}{a}\right), & |x| \le a, \\ +\infty & |x| > a. \end{cases} \]Qui, la regione \(|x|>a\) è impenetrabile (buca a pareti infinite), e all’interno \(|x|\le a\) il potenziale varia con una legge basata sull’arcoseno, partendo da \(V(-a)=V_0\arcsin(-1)=-V_0\frac{\pi}{2}\) fino a \(V(a)=V_0\arcsin(1)=V_0\frac{\pi}{2}\). Questo crea un profilo non simmetrico rispetto al centro, ma comunque continuo. Senza perdita di generalità, si può anche considerare una versione traslata o scalata di questo potenziale.
L’equazione di Schrödinger stazionaria (indipendente dal tempo) per questo sistema è:
\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\phi(x) + V_0 \arcsin\left(\frac{x}{a}\right)\phi(x) = E \phi(x), \quad \text{con } |x|\le a, \] e \(\phi(x)=0\) per \(|x|>a\). Le condizioni al contorno sono dunque \(\phi(-a)=0\) e \(\phi(a)=0\), dato che la funzione d’onda deve annullarsi ai confini della buca infinita.A differenza dei casi classici (buca infinita con potenziale costante, oscillatore armonico, atomo di idrogeno), qui non esiste una soluzione analitica standard. Il metodo tipico è procedere numericamente:
In tal modo si ottengono una serie di autovalori discreti (perché la buca è infinita e confinante) corrispondenti agli stati legati del sistema. Le autofunzioni possono presentare forme non banali a causa della presenza del potenziale \(\arcsin(x/a)\) che varia con la posizione.
Sebbene una “buca di potenziale arcoseno” sia più un esercizio teorico che un potenziale fisico comune, studiarla serve a capire come l’energia degli stati quantici e le forme delle funzioni d’onda dipendano dalla particolare forma del potenziale. A differenza di una buca a pareti infinite con potenziale costante interno (dove gli autostati sono seni e coseni), qui le soluzioni non sono funzioni semplici, ma possono essere approssimate con metodi numerici. L’esistenza di livelli quantizzati e di stati legati resta, ma le funzioni d’onda riflettono la variazione del potenziale, concentrandosi più in regioni dove l’energia potenziale è minore.
Lo stesso metodo può essere applicato a potenziali arbitrari: parabolici, scalini, potenziali a gradini, forme più complesse definite numericamente. La mancanza di una soluzione analitica non impedisce di comprendere la fisica del sistema: i metodi numerici offrono uno strumento potente e flessibile per investigare potenziali “esotici” come questo.
Consideriamo una buca di potenziale finita unidimensionale, ad esempio centrata fra \( x=0 \) e \( x=a \), con:
• \( V(x) = -V_0 \) per \( 0 < x < a \) • \( V(x) = 0 \) altrove,
con \( V_0 > 0 \). Tale configurazione rappresenta una "buca" di profondità \( V_0 \) e larghezza \( a \).
Appare utile definire l’energia della particella come \( E < 0 \) per gli stati legati. In questo caso, l’energia totale \( E \) è minore del livello di zero dell’energia esterna, cioè la particella è intrappolata nella buca. Introduciamo due parametri:
\( k = \sqrt{\frac{2m(E+V_0)}{\hbar^2}} \) per la regione interna (dove il potenziale è \( -V_0 \)), e \( \gamma = \sqrt{\frac{2m|E|}{\hbar^2}} \) per la regione esterna, dove l’energia è inferiore al potenziale esterno nullo.
La soluzione dell’equazione di Schrödinger interna, per una particella di massa m, porta a funzioni d’onda sinusoidali o cosinusoidali a seconda delle parità degli stati. Dato che la funzione d’onda deve decadere esponenzialmente all’esterno (dove \( E < 0 \) e si ottengono soluzioni di tipo evanescente), le condizioni di raccordo ai bordi \( x=0 \) e \( x=a \) definiscono il cosiddetto "problema di quantizzazione". Queste condizioni, combinando l’andamento sinusoidale interno con l’esponenziale esterno, danno luogo a un’equazione trascendentale che lega \( k \), \( \gamma \) e \( a \).
A seconda del tipo di soluzione (pari o dispari rispetto al centro della buca, o comunque in base alle condizioni al contorno scelte), si ottiene una relazione che può essere invertita per ricavare gli autovalori di energia. Quando si manipolano tali condizioni, è possibile arrivare a espressioni che coinvolgono funzioni inverse trigonometriche, come l’arcoseno. Ciò accade ad esempio quando, partendo dalle condizioni ai limiti:
• La funzione d’onda deve annullarsi ai confini della buca o essere soggetta a condizioni periodiche modificate. • Le relazioni tra \( \sin(k a) \), \( \cos(k a) \) e i rapporti tra k e γ determinano la quantizzazione.
Se si isola una delle grandezze (ad esempio \( k a \)) in funzione dei parametri del potenziale e di γ, si può incappare in forme del tipo: \[ k a = \arcsin\left( \frac{\gamma}{\sqrt{\gamma^2 + \dots}}\right) \] o espressioni simili, dove l’arcoseno emerge naturalmente nel risolvere per \( k \) (o E) a partire da combinazioni trigonometriche delle funzioni d’onda e delle loro derivate. Questo dipende dalla geometria del problema e dal tipo di condizione al contorno imposto.
In altre parole, la comparsa della funzione arcoseno (o altre funzioni inverse trigonometriche) nei problemi di quantizzazione di una buca di potenziale è legata alla struttura trascendentale delle condizioni ai limiti. Tali condizioni, spesso in forma di equazioni che coinvolgono tangenti o seni e coseni, possono essere invertite in forme inverse come arcoseno per ottenere espressioni più esplicite dell’energia quantizzata.
Durante la risoluzione alla lavagna, si potrebbe procedere così: • Scrivere l’equazione di Schrödinger interna ed esterna. • Imporre la continuità della funzione d’onda e della sua derivata ai confini \( x=0 \) e \( x=a \). • Ottenere una relazione tra k e γ, tipicamente in forma di equazione trascendentale (ad esempio qualcosa tipo: \(\frac{k}{\gamma} = \tan(k a)\) o \(\frac{k}{\gamma} = \sin(k a)\) / \(\cos(k a)\)). • Ricavare da queste forme trigonometriche una relazione diretta su k, usando arcus (inversi trigonometrici), da cui scaturisce l’arcoseno.
Se questa derivazione è condotta con attenzione, si nota come i livelli energetici del sistema finiscano per dipendere da una condizione in cui l’arcoseno lega il rapporto dei parametri caratteristici del problema.
L’emergere dell’arcoseno è quindi un risultato matematico di una particolare scelta di parametrizzazione del problema o di una manipolazione specifica dell’equazione di quantizzazione, e non un risultato universalmente presente in qualsiasi buca di potenziale. È però un esempio di come, modificando il potenziale o l’approccio risolutivo, si possa arrivare a condizioni di quantizzazione scritte in forme differenti, coinvolgendo funzioni inverse trigonometriche.