Buca di Potenziale a Pareti Finite

La buca di potenziale a pareti finite è un problema quantistico unidimensionale che illustra come, a differenza del caso a pareti infinite, le particelle possano "penetrare" parzialmente nelle regioni in cui l’energia è maggiore dell’energia della particella. A livello classico, una particella con energia inferiore all’altezza delle pareti non potrebbe mai uscire dalla buca. In meccanica quantistica, la localizzazione non è assoluta, e gli stati legati e gli stati di scattering mostrano comportamenti peculiari.

Stati Legati

Se l’energia della particella \(E\) è minore di \(V_0\), la particella può rimanere intrappolata nella buca, formando uno stato legato. A differenza della buca infinita, gli stati legati nella buca finita decadono esponenzialmente all’esterno della regione \(|x|

La condizione quantistica porta alla quantizzazione dei livelli energetici. A differenza della buca infinita, però, la quantizzazione dei livelli non è semplice come un set di seni e coseni puri. L’applicazione delle condizioni al contorno (continuità di funzione d’onda e della sua derivata) porta a relazioni trascendenti per i livelli energetici, risolvibili solo numericamente o graficamente.

Penetrazione dell’Onda all’Esterno

Stati di Scattering

Se l’energia della particella supera \(V_0\), la particella non è più confinata: può teoricamente arrivare dalla regione \( x \to -\infty \) ed essere parzialmente trasmessa o riflessa dalla buca. In questo caso, la buca finita funge da potenziale che altera l’ampiezza e la fase dell’onda trasmessa, producendo coefficienti di riflessione e trasmissione non banali. A certe energie è possibile avere risonanze, cioè energie alle quali la trasmissione è massima a causa di condizioni di interferenza costruttiva dentro la buca.

Alla Lavagna

1. Disegna il potenziale: una buca di larghezza 2a, con profondità V_0. A differenza della buca infinita, qui i "muri" hanno un’altezza finita: da 0 a V_0.

2. Mostra qualitativamente la funzione d’onda di uno stato legato: sinusoidale all’interno (|x| < a) ed esponenzialmente decrescente all’esterno (|x| > a).

3. Spiega che per trovare i livelli energetici legati si devono applicare le condizioni al contorno di continuità di \(\psi\) e \(\psi'\) a x = ±a, ottenendo equazioni trascendenti.

4. Per stati con E > V_0, rappresenta un’onda entrante da sinistra. Alcune porzioni di quest’onda vengono rifratte (transitate) attraverso la buca, altre riflessa. Mostra concettualmente l’andamento dell’onda uscente.

5. Sottolinea l’aspetto chiave: non esiste un’annullamento totale della funzione d’onda all’esterno come nel caso a pareti infinite, bensì un decadimento graduale, a testimonianza della penetrazione quantistica.

Approfondimenti su stati legati e condizioni al contorno

Considerando la buca a pareti finite, la quantizzazione dei livelli energetici non segue più una formula semplice come nel caso della buca infinita. Qui, la funzione d’onda \(\psi(x)\) deve soddisfare l’equazione di Schrödinger in tre regioni: 1. Regione interna, tra \(-a\) e \(a\), dove il potenziale è zero. 2. Regione esterna, a sinistra di \(-a\) e a destra di \(a\), dove il potenziale è \(V_0\), un valore finito e positivo (o almeno un potenziale barriera finita).

Nella zona interna, con energia \(E minore di V_0\), la funzione d’onda ha soluzioni simili a onde sinusoidali, mentre all’esterno la soluzione decresce esponenzialmente, poiché la particella non ha abbastanza energia per propagarsi liberamente oltre la barriera. I profili di \(\psi(x)\) in queste due aree vengono accostati imponendo continuità di \(\psi\) e della sua derivata prima in corrispondenza dei punti \(x=\pm a\). Questo genera un sistema di condizioni che, a differenza di situazioni più semplici, non si risolve con una formula elementare. Occorre ricorrere a metodi numerici o a grafici per trovare le energie \(E\) che soddisfano le condizioni di matching.

Alla lavagna si può rappresentare questa situazione come segue: - Sul lato sinistro, nel tratto \(-\infty\) a \(-a\), la soluzione esponenziale decrescente. - Al centro, tra \(-a\) e \(a\), una funzione d’onda oscillante, ad esempio un seno o un coseno opportunamente scelti per soddisfare la parità del problema. - Sul lato destro, da \(a\) a \(+\infty\), di nuovo una soluzione esponenzialmente decrescente. Mettendo in evidenza che la forma dell’onda all’interno è “incastrata” tra due muri di potenziale non infiniti, si ottiene un compromesso: non tutte le frequenze d’oscillazione interna vanno bene, soltanto quelle per cui la funzione d’onda e la sua derivata si incontrano senza discontinuità sulle pareti. Scegliendo una certa energia, si prova a verificare le condizioni al contorno: se non si chiudono in modo coerente, si cambia \(E\) fino a trovare valori per cui le equazioni di matching sono soddisfatte. Questo processo, in genere, produce un numero finito di soluzioni legate, ciascuna con una propria energia quantizzata.

Un aspetto interessante è che aumentando la profondità \(V_0\) o la larghezza \(2a\) della buca, diventa possibile supportare più stati legati. Immaginare una buca poco profonda: soltanto il livello fondamentale (un solo stato legato) può esistere. Approfondendo la buca o rendendola più larga, emergono nuovi stati, come posare più e più cicli d’onda all’interno. Alla lavagna, si può mostrare la modifica dei livelli energetici al variare di \(V_0\) o di \(a\). A differenza della buca infinita, dove i livelli sono semplici multipli di una costante, qui si ottengono livelli che dipendono in modo non banale dai parametri del potenziale.

Questo scenario non è soltanto teorico: compare effettivamente in sistemi fisici reali, ad esempio in eterostrutture a semiconduttore o nei pozzi quantici nanometrici, dove gli elettroni sono parzialmente confinati. La ricchezza delle soluzioni e la sensibilità dei livelli energetici alle caratteristiche del potenziale sono uno dei motivi per cui lo studio del pozzo finito è più realistico rispetto all’approssimazione di pozzo a pareti infinite. La transizione tra stati legati (discreti e quantizzati) e stati di scattering (continui, quando l’energia oltrepassa la barriera) permette inoltre di esplorare fenomeni come la risonanza e la trasmissione quantistica attraverso barriere finite.