Buca di potenziale a pareti infinite

La buca di potenziale a pareti infinite (o “pozzo infinito”) è un modello ideale e semplice in meccanica quantistica che descrive una particella confinata in una regione dello spazio dalla quale non può sfuggire. Il potenziale è definito come:

Ciò significa che la particella è costretta a rimanere tra \(0\) e \(L\) perché non può penetrare nelle regioni in cui \(V(x)=\infty\). Questo problema è uno dei primi esempi standard in meccanica quantistica, poiché le soluzioni sono relativamente semplici e illustrano i concetti di quantizzazione dell’energia e di autofunzioni stazionarie.

Condizioni al Contorno e Forme delle Autofunzioni

All’interno della buca, l’equazione di Schrödinger (indipendente dal tempo) riduce a una particella libera, poiché \(V(x)=0\). Tuttavia, la funzione d’onda \(\phi(x)\) deve annullarsi sui bordi della buca, a \(x=0\) e \(x=L\), perché la particella non può esistere al di fuori di essa e la funzione d’onda non può avere valori non nulli nelle regioni proibite.

Queste condizioni al contorno selezionano un insieme discreto di autofunzioni e autovalori di energia. Le autofunzioni tipiche, per una buca unidimensionale, assumono la forma di seni e coseni e, rispettando l’annullamento ai bordi, si possono mostrare (senza scendere in dettagli calcolati) che le soluzioni non banali sono solo quelle del tipo sinusoidale:

Queste autofunzioni formano una base ortonormale. Ogni \(\phi_n\) corrisponde a uno stato stazionario con energia quantizzata.

Quantizzazione dei Livelli Energetici

Le condizioni al contorno e l’equazione determinano gli autovalori energetici quantizzati. L’energia del livello \(n\)-esimo risulta proporzionale a \((n\pi/L)^2\). In particolare, si trova che:

Alla Lavagna

1. Disegna l’asse \(x\) e traccia un rettangolo verticale per rappresentare la buca tra \(0\) e \(L\), con \(V(x)=0\) dentro e \(V(x)=\infty\) fuori.

2. Spiega che \(\psi(x)=0\) per \(x \leq 0\) e per \(x \geq L\). All’interno, l’equazione è come quella di una particella libera, ma occorrono condizioni che impongano \(\psi(0)=\psi(L)=0\).

3. Mostra le prime autofunzioni: per \(n=1\), una mezza sinusoide che parte da zero, sale e torna a zero in \(L\). Per \(n=2\), due “mezz’onde” nel tratto \([0,L]\), e così via.

4. Sottolinea che ogni funzione d’onda è etichettata da un numero quantico intero \(n\), e che a ogni \(n\) corrisponde un’energia: \[ E_n = \frac{\hbar^2\pi^2 n^2}{2mL^2}. \] 5. Mostra graficamente come le energie siano discretizzate, con un diagramma dei livelli energetici.

Significato Fisico

La buca di potenziale a pareti infinite è un modello ideale, ma estremamente istruttivo. Mostra che il confinamento spaziale produce quantizzazione dell’energia: la particella non ha a disposizione un continuo di energie, bensì una serie discreta di livelli. Questo concetto è alla base di fenomeni come i punti quantici o le bande energetiche nei solidi, dove i potenziali limitano il movimento degli elettroni.

Questo esempio fornisce un caso semplice ma illuminante della relazione tra vincoli spaziali, forme delle funzioni d’onda e quantizzazione dell’energia, uno dei pilastri della comprensione quantistica dei sistemi fisici.

Dettagli addizionali

Prendendo spunto dal passaggio dalla forma classica a quella quantistica, un modo per mostrare in modo chiaro da dove provenga la quantizzazione dell’energia nel pozzo infinito è visualizzare i passaggi chiave alla lavagna. Si parte dalla rappresentazione stazionaria dell’equazione di Schrödinger in una regione a potenziale nullo. Anzitutto, si osserva che:

La chiave è riconoscere che questa è l’equazione di un’onda stazionaria. Sul lato sinistro della lavagna si possono scrivere le soluzioni generali \(\phi(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx)\), con \(k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}\). Su un altro lato si nota che le condizioni al contorno, \(\phi(0)=0\) e \(\phi(L)=0\), non possono essere soddisfatte da soluzioni arbitrarie, ma selezionano solo quei valori di \(k\) per cui la funzione d’onda scompare ai bordi. È questo punto che mostra la nascita della quantizzazione: non tutte le sinusoidi si adattano, soltanto quelle con nodi appropriati.

Si prende allora una sinusoide e la si disegna sul segmento [0,L]. Se la lunghezza d’onda fosse qualsiasi, la sinusoide non sarebbe zero a \(x=L\), ma richiederebbe un aggiustamento. L’*importanza* delle condizioni al contorno è sottolineata dallo scrivere a lato, in grassetto o sottolineato, che queste condizioni “fissano” le lunghezze d’onda ammissibili. I valori accettabili sono quelli per cui \(\lambda_n = \frac{2L}{n}\), con \(n\) intero positivo, come si appunta sotto il disegno. Queste lunghezze d’onda discrete corrispondono a una serie di modi stazionari, ognuno con un diverso numero di nodi interni.

Sostituendo \(\lambda_n = \frac{2L}{n}\) si ottiene che \(k_n=\frac{n\pi}{L}\), e siccome l’energia è legata a \(k^2\), si scrive: \[ E_n = \frac{\hbar^2 \pi^2 n^2}{2mL^2}. \]

Su una parte della lavagna si possono elencare i primi tre livelli di energia, evidenziando ad esempio \(E_1, E_2, E_3\), e di fianco disegnare le rispettive funzioni d’onda: per \(n=1\) una mezza sinusoide, per \(n=2\) una sinusoide intera con un nodo, per \(n=3\) due nodi e così via. Si può marcare con italic o underline che queste funzioni d’onda differiscono non solo energeticamente, ma nella forma spaziale: a energia più alta corrispondono funzioni d’onda più oscillanti.

L’aspetto *fondamentale* è che questo non è un fenomeno limitato al libro di testo. In dispositivi su scala nanometrica, confinare elettroni in pozzetti di potenziale genera livelli discreti simili a quelli appena derivati. Le particelle non possono avere energie arbitrarie, esistono livelli energetici distinti da cui emergono proprietà ottiche ed elettroniche speciali dei materiali nanostrutturati.