Buca di Potenziale
Buca di potenziale a pareti infinite
La buca di potenziale a pareti infinite è uno dei problemi fondamentali della meccanica quantistica. Il potenziale è definito come:
\[
V(x) =
\begin{cases}
0, & 0 < x < L \\
\infty, & \text{altrove}
\end{cases}
\]
Le soluzioni dell'equazione di Schrödinger nella regione \( 0 < x < L \) sono onde stazionarie:
\[
\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right)
\]
dove \( n \) è il numero quantico ( \( n = 1, 2, 3, \ldots \)). L'energia dei livelli è quantizzata:
\[
E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}
\]
Buca di potenziale a pareti finite
La buca di potenziale a pareti finite considera un potenziale finito \( V_0 \) all'esterno della regione confinata (\( -L/2 < x < L/2 \)):
\[
V(x) =
\begin{cases}
0, & -\frac{L}{2} < x < \frac{L}{2} \\
V_0, & \text{altrove}
\end{cases}
\]
Le soluzioni sono date da funzioni sinusoidali o cosinusoidali nella regione interna e funzioni esponenziali decrescenti all'esterno. L'energia è quantizzata, ma a differenza del caso a pareti infinite, è possibile che gli stati legati abbiano energia \( E < V_0 \).
Condizioni ai bordi e normalizzazione
Le soluzioni devono soddisfare le condizioni di continuità della funzione d'onda e della sua derivata ai bordi della regione confinata. Inoltre, la funzione d'onda deve essere normalizzabile:
\[
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2 dx = 1
\]
Significato fisico
La buca di potenziale illustra il concetto di quantizzazione dell'energia e il comportamento ondulatorio delle particelle confinate. La differenza tra le pareti infinite e finite è significativa: nel secondo caso, le particelle possono "tunnelizzare" fuori dalla regione confinata, fenomeno noto come effetto tunnel.
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