Calcolo Operatoriale
Operatori e loro proprietà
Gli operatori nella meccanica quantistica rappresentano osservabili fisiche, come posizione, momento o energia.
Un operatore \( \hat{A} \) agisce su una funzione d'onda \( \psi(x) \), generando una nuova funzione. Gli operatori lineari soddisfano:
\[
\hat{A}(c_1 \psi_1 + c_2 \psi_2) = c_1 \hat{A} \psi_1 + c_2 \hat{A} \psi_2
\]
dove \( c_1 \) e \( c_2 \) sono costanti scalari.
Operatori di posizione e momento
L'operatore di posizione \( \hat{x} \) agisce su una funzione d'onda come:
\[
\hat{x} \psi(x) = x \psi(x)
\]
L'operatore di momento \( \hat{p}_x \), definito come:
\[
\hat{p}_x = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}
\]
agisce come una derivata spaziale.
Commutatori
Il commutatore di due operatori \( \hat{A} \) e \( \hat{B} \) è definito come:
\[
[\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A}
\]
Per gli operatori di posizione e momento, si ha:
\[
[\hat{x}, \hat{p}_x] = i\hbar
\]
Questa relazione esprime il principio di indeterminazione di Heisenberg.
Autovalori e autostati
Gli operatori possono avere autovalori e autostati, soddisfacendo:
\[
\hat{A} \psi = a \psi
\]
dove \( a \) è l'autovalore e \( \psi \) l'autostato. Ad esempio, per \( \hat{p}_x \), gli autostati sono funzioni d'onda piane:
\[
\psi(x) = e^{i k x}
\]
Operatori hermitiani
Gli operatori associati a osservabili fisiche sono hermitiani, soddisfacendo:
\[
\int \psi_1^*(\hat{A} \psi_2) dx = \int (\hat{A} \psi_1)^* \psi_2 dx
\]
Questo garantisce che gli autovalori siano reali.
Prodotto scalare e completezza
Il prodotto scalare tra due funzioni d'onda \( \phi \) e \( \psi \) è definito come:
\[
\langle \phi | \psi \rangle = \int \phi^*(x) \psi(x) dx
\]
Gli autostati di un operatore hermitiano formano una base completa per lo spazio delle funzioni d'onda, consentendo di espandere qualsiasi stato come:
\[
\psi(x) = \sum_n c_n \phi_n(x)
\]
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