L'interazione di una particella con spin in un campo magnetico uniforme \( \mathbf{B} \) è un problema fondamentale nella meccanica quantistica. La particella, dotata di momento magnetico \( \boldsymbol{\mu} \), interagisce con \( \mathbf{B} \) attraverso l'energia di interazione
Il momento magnetico è legato allo spin della particella tramite la relazione:
dove \( g \) è il fattore di Landé, \( \mu_B \) è il magnetone di Bohr e \( \mathbf{S} \) è l'operatore di spin. Inserendo questa espressione nell'hamiltoniana, si ottiene:
Se il campo magnetico è orientato lungo l'asse \( z \), cioè \( \mathbf{B} = B_z \hat{z} \), l'hamiltoniana si riduce a:
Gli autostati dell'operatore \( S_z \) sono anche autostati dell'hamiltoniana. Per uno spin \( \frac{1}{2} \), i due possibili autovalori di \( S_z \) sono \( \pm \frac{\hbar}{2} \), e quindi i livelli energetici sono:
Questo porta alla separazione delle energie in due livelli distinti, fenomeno noto come Effetto Zeeman normale.
L'importanza di un campo magnetico uniforme si estende a molti sistemi fisici, come il controllo dei qubit nei computer quantistici, dove il campo viene utilizzato per manipolare gli stati di spin.
Per comprendere appieno l'interazione tra una particella con spin e un campo magnetico uniforme \( \mathbf{B} \), consideriamo gli operatori quantistici coinvolti. L'hamiltoniana
è un operatore che agisce sugli autostati dello spin. Se il campo è orientato lungo l'asse \( z \), possiamo scrivere:
Dove \( S_z \) è l'operatore di spin lungo \( z \). Per uno spin \( \frac{1}{2} \), gli autostati di \( S_z \) sono dati da \( \lvert + \rangle \) e \( \lvert - \rangle \), con autovalori rispettivamente \( +\frac{\hbar}{2} \) e \( -\frac{\hbar}{2} \). Inserendo questi valori nell'hamiltoniana:
Questi risultati mostrano che i livelli energetici della particella sono scissi in due valori distinti, separati da un'energia di:
Questo scarto energetico è direttamente proporzionale all'intensità del campo magnetico uniforme \( B_z \), e l'effetto è alla base della spettroscopia di risonanza magnetica e dell'operazione di spin nei sistemi quantistici.
L'effetto Zeeman normale si manifesta come una separazione delle linee spettrali di una sorgente emettente luce o radiazione elettromagnetica in presenza di un campo magnetico. Ogni linea spettrale osservata in assenza di campo viene divisa in due linee simmetriche rispetto alla posizione originale, corrispondenti ai livelli energetici \( E_+ \) ed \( E_- \).
Nelle applicazioni moderne, i campi magnetici uniformi sono utilizzati per manipolare stati quantistici in dispositivi come i risonatori EPR (Electron Paramagnetic Resonance) o nei computer quantistici, dove il controllo preciso degli stati di spin è essenziale per il funzionamento dei qubit.
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