Coefficenti di Clebsch-Gordan

I coefficienti di Clebsch-Gordan sono utilizzati per combinare due momenti angolari quantistici, permettendo di passare dalla rappresentazione dei momenti angolari individuali alla rappresentazione del momento angolare totale. In termini matematici, questi coefficienti determinano il modo in cui gli stati base dei due momenti angolari individuali, \( |j_1, m_1\rangle \) e \( |j_2, m_2\rangle \), si combinano per formare uno stato base del momento angolare totale \( |J, M\rangle \).

Definizione

\( |J, M\rangle = \sum_{m_1, m_2} C_{j_1, j_2, J}^{m_1, m_2, M} |j_1, m_1\rangle |j_2, m_2\rangle \)

Qui, \( C_{j_1, j_2, J}^{m_1, m_2, M} \) sono i coefficienti di Clebsch-Gordan, che dipendono dai valori quantici \( j_1, j_2, J, m_1, m_2, M \). La conservazione del momento angolare richiede che \( M = m_1 + m_2 \) e che \( J \) soddisfi \( |j_1 - j_2| \leq J \leq j_1 + j_2 \).

Proprietà

Applicazioni

I coefficienti di Clebsch-Gordan sono essenziali nella fisica quantistica e nella teoria quantistica dei campi. Alcune delle applicazioni includono:

Esempio: Somma di Due Spin \( \frac{1}{2} \)

Consideriamo due particelle con spin \( \frac{1}{2} \). Gli stati base del sistema combinato sono descritti dalla somma \( J = 1 \) (tripletto) e \( J = 0 \) (singoletto). La tabella seguente mostra i coefficienti di Clebsch-Gordan per questa combinazione:

\[ \begin{aligned} |1, 1\rangle &= |+\rangle |+\rangle \\ |1, 0\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} \big(|+\rangle |-\rangle + |-\rangle |+\rangle\big) \\ |1, -1\rangle &= |-\rangle |-\rangle \\ |0, 0\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} \big(|+\rangle |-\rangle - |-\rangle |+\rangle\big) \end{aligned} \]

Derivazione Matematica

I coefficienti di Clebsch-Gordan possono essere determinati risolvendo le equazioni di accoppiamento tra i momenti angolari. Consideriamo il prodotto diretto degli stati \( |j_1, m_1\rangle \) e \( |j_2, m_2\rangle \), che forma uno spazio vettoriale di base:

\( |j_1, m_1\rangle |j_2, m_2\rangle \quad \text{con} \quad -j_1 \leq m_1 \leq j_1, \; -j_2 \leq m_2 \leq j_2 \)

Quando si accoppiano questi stati, si introducono gli operatori di momento angolare totale \( \mathbf{J} = \mathbf{J}_1 + \mathbf{J}_2 \) con le seguenti proprietà:

Per calcolare i coefficienti di Clebsch-Gordan, imponiamo la relazione tra gli operatori \( J_+ \) e \( J_- \) (operatori di innalzamento e abbassamento) sui nuovi stati accoppiati:

\( J_+ |J, M\rangle = \hbar \sqrt{(J - M)(J + M + 1)} |J, M+1\rangle \)

Applicando questi operatori ai singoli momenti angolari e confrontando con la rappresentazione accoppiata, si ottengono equazioni lineari che definiscono i coefficienti di Clebsch-Gordan. La normalizzazione e la simmetria completano la derivazione.

Normalizzazione

Una delle condizioni fondamentali per i coefficienti di Clebsch-Gordan è che gli stati accoppiati siano normalizzati. Questo implica che:

\( \sum_{m_1, m_2} |C_{j_1, j_2, J}^{m_1, m_2, M}|^2 = 1 \)

Questa condizione è verificata per garantire che il prodotto scalare degli stati accoppiati sia unitario. Inoltre, ogni stato accoppiato \( |J, M\rangle \) deve essere ortogonale agli altri stati con valori diversi di \( J \) o \( M \).

Esempio Completo: Somma di \( l = 1 \) e \( s = \frac{1}{2} \)

Consideriamo l'accoppiamento di un momento angolare orbitale \( l = 1 \) e uno spin \( s = \frac{1}{2} \). Gli stati accoppiati sono:

\( |j = \frac{3}{2}, m\rangle \) e \( |j = \frac{1}{2}, m\rangle \),

con \( m \) che varia tra \( -j \) e \( +j \). Per esempio, per \( j = \frac{3}{2} \), abbiamo quattro stati: \( m = \frac{3}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2} \). La relazione tra gli stati accoppiati e i coefficienti di Clebsch-Gordan è data da:

\[ |j = \frac{3}{2}, m = \frac{3}{2}\rangle = |1, 1\rangle |\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle \]

\[ |j = \frac{3}{2}, m = \frac{1}{2}\rangle = \sqrt{\frac{2}{3}} |1, 0\rangle |\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle + \sqrt{\frac{1}{3}} |1, 1\rangle |\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\rangle \]

La derivazione di questi coefficienti è ottenuta applicando le proprietà di ortogonalità e normalizzazione.