Composizione di \( \mathbf{J} = \mathbf{L} + \mathbf{S} \)

Nella meccanica quantistica, il momento angolare totale \(\mathbf{J}\) di una particella è dato dalla somma del suo momento angolare orbitale \(\mathbf{L}\) e del suo spin \(\mathbf{S}\):

\[ \mathbf{J} = \mathbf{L} + \mathbf{S}. \]

Questa composizione è fondamentale per descrivere in dettaglio le proprietà quantistiche degli stati, ad esempio in atomi con elettroni dotati di momento angolare orbitale e spin. L’operatore totale \(\mathbf{J}\) eredita le proprietà di quantizzazione e commutazione sia da \(\mathbf{L}\) che da \(\mathbf{S}\), permettendo di definire nuovi numeri quantici per caratterizzare gli stati energetici.

Operatori e Commutatori

I tre momenti angolari \(\mathbf{J}\), \(\mathbf{L}\), \(\mathbf{S}\) soddisfano ciascuno le usuali relazioni di commutazione:

\[ [J_i, J_j] = i \hbar \epsilon_{ijk} J_k, \quad [L_i, L_j] = i \hbar \epsilon_{ijk} L_k, \quad [S_i, S_j] = i \hbar \epsilon_{ijk} S_k. \] Inoltre, \(\mathbf{L}\) e \(\mathbf{S}\) agiscono su spazi di dimensione diversa (orbitali e spinoriali) ed è tipicamente assunto che \([L_i, S_j] = 0\). Questo garantisce che \(\mathbf{L}\) e \(\mathbf{S}\) possano essere combinati come due momenti angolari indipendenti.

Numeri Quantici e Autovalori

Quando si somma \(\mathbf{L}\) e \(\mathbf{S}\), i numeri quantici relativi all’operatore \(J^2 = \mathbf{J}\cdot \mathbf{J}\) e a \(J_z\) diventano i nuovi riferimenti per descrivere gli stati. Se:

\[ L^2 |l,m_l\rangle = \hbar^2 l(l+1)|l,m_l\rangle, \quad L_z |l,m_l\rangle = \hbar m_l|l,m_l\rangle, \] \[ S^2 |s,m_s\rangle = \hbar^2 s(s+1)|s,m_s\rangle, \quad S_z |s,m_s\rangle = \hbar m_s|s,m_s\rangle, \] allora gli stati combinati prima della somma sono \(|l,m_l\rangle |s,m_s\rangle\). La composizione di \(\mathbf{L}\) e \(\mathbf{S}\) porta a nuovi stati:

\[ |j,m_j\rangle = \sum_{m_l,m_s} C_{l,s,m_l,m_s}^{j,m_j} |l,m_l\rangle|s,m_s\rangle, \] dove \(C_{l,s,m_l,m_s}^{j,m_j}\) sono i coefficienti di Clebsch-Gordan. Questi coefficienti descrivono come combinare i due momenti angolari per ottenere i nuovi stati con numeri quantici \(j\) e \(m_j\) tali che:

\[ J^2 |j,m_j\rangle = \hbar^2 j(j+1)|j,m_j\rangle, \quad J_z|j,m_j\rangle = \hbar m_j |j,m_j\rangle. \]

Calcolo dei Coefficienti di Clebsch-Gordan

I coefficienti di Clebsch-Gordan compaiono quando si combinano due momenti angolari quantistici. Essi si trovano in tavole standard o si calcolano con metodi algebrici noti. Per esempio, se \(l=1\) e \(s=1/2\), i valori di \(j\) possono essere \(j= l+s=1.5\) o \(j= l-s=0.5\), e per ciascun \(m_j\) si costruiscono i nuovi stati dalla combinazione degli stati \(|l,m_l\rangle\) e \(|s,m_s\rangle\).

Alla Lavagna

1. Scrivi \(\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}\).

2. Sottolinea i commutatori: \[ [J_i,J_j]=i\hbar \epsilon_{ijk} J_k, \quad [L_i,L_j]=i\hbar \epsilon_{ijk} L_k, \quad [S_i,S_j]=i\hbar \epsilon_{ijk} S_k, \] e \([L_i,S_j]=0\).

3. Spiega che \(|l,m_l\rangle\) sono autostati di \(\mathbf{L}^2\) e \(L_z\), mentre \(|s,m_s\rangle\) di \(\mathbf{S}^2\) e \(S_z\).

4. Mostra che gli stati \(|j,m_j\rangle\) si ottengono combinando \(|l,m_l\rangle|s,m_s\rangle\) con i coefficienti di Clebsch-Gordan.

5. Esempio: per \(l=1\) e \(s=1/2\), calcola qualitativamente come i livelli si combinano per formare \(|j,m_j\rangle\) con \(j=1/2\) o \(j=3/2\).

Implicazioni Fisiche

La somma \(\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}\) è cruciale in fisica atomica e molecolare per capire la struttura fine dei livelli energetici e le regole di selezione nella spettroscopia. Nel caso di un elettrone in un atomo, l’accoppiamento tra momento angolare orbitale e spin produce i termini spettroscopici caratterizzati da \(j\), che determinano i livelli energetici osservati negli spettri. Il formalismo della composizione di \(\mathbf{J}\) da \(\mathbf{L}\) e \(\mathbf{S}\) fornisce la base per capire fenomeni come l’accoppiamento \(LS\), l’accoppiamento \(jj\) e la struttura fine negli spettri atomici.

Approfondimento sul Calcolo dei Coefficienti di Clebsch-Gordan

Per capire in dettaglio come combinare due momenti angolari quantistici, è essenziale saper manipolare i coefficienti di Clebsch-Gordan. Questi coefficienti stabiliscono come gli autostati di \( \mathbf{J} = \mathbf{L} + \mathbf{S} \) si ottengono a partire dai prodotti degli autostati di \( \mathbf{L} \) e \( \mathbf{S} \). Di solito, si parte da uno stato del tipo |l,ml; s,ms〉 e si vuole esprimere |j,mj〉 come combinazione lineare:

Fissando l’accoppiamento, si ha:

\[ |j,m_j\rangle = \sum_{m_l,m_s} C_{l,s,m_l,m_s}^{j,m_j}|l,m_l\rangle|s,m_s\rangle. \]

Una via per ricavare questi coefficienti è applicare gli operatori di innalzamento e abbassamento \(J_{\pm}=J_x \pm iJ_y\) e utilizzare le relazioni di commutazione insieme alle condizioni di ortonormalità. Un altro approccio è assumere l’esistenza di un coefficiente corrispondente al massimo valore di mj (tipicamente mj=l+s), poi utilizzare sistematicamente gli operatori di abbassamento per ricavare gli altri coefficienti. Spesso, tuttavia, ci si affida a tavole standard, data la complessità algebrica del calcolo.

L’uso della Notazione Bra-Ket sulla Lavagna

1. Partire da un singolo stato massimale: ad esempio |l,s;l+s〉 è univocamente associato a ml=l e ms=s, quindi: \[ |j=l+s,m_j=l+s\rangle = |l,m_l=l\rangle|s,m_s=s\rangle. \] 2. Poi applicare l’operatore di abbassamento J− = L− + S− e agire iterativamente sullo stato per generare i restanti |j,m_j〉 e ottenere così le combinazioni lineari desiderate. A ogni passaggio, i coefficienti si determinano imponendo ortonormalità e ricorrendo ai commutatori: \[ [J_z,J_{\pm}] = \pm \hbar J_{\pm}, \quad [L_z,L_{\pm}] = \pm \hbar L_{\pm}, \quad [S_z,S_{\pm}] = \pm \hbar S_{\pm}. \] 3. Dimostrare ad esempio il calcolo di un singolo Clebsch-Gordan: per combinare l=1 e s=1/2, si inizia dal massimo m_j = 3/2 e poi si abbassa fino a ottenere m_j=1/2. Si trovano così espressioni come: \[ |3/2,1/2\rangle = \sqrt{\frac{2}{3}}|1,0\rangle|1/2,1/2\rangle + \sqrt{\frac{1}{3}}|1,1\rangle|1/2,-1/2\rangle. \] Questo è solo un esempio, ma mostra come si arrivi a coefficienti numerici precisi, derivati da condizioni di normalizzazione e ortogonalità.

Degenerazione, Accoppiamenti e Rappresentazioni

Quando l’energia non dipende da j (o quando ci sono simmetrie particolari), si ha degenerazione negli autostati di energia. In tali casi, la scelta della base |j,m_j〉 non è unica. Si può ruotare nello spazio degenerato usando trasformazioni unitarie che mescolano stati con lo stesso E ma diversi j. Questo tipo di libertà è spesso sfruttata per scegliere basi che semplificano problemi specifici (ad esempio quando si considerano interazioni di spin-orbita o si vuole diagonalizzare ulteriori operatori in contemporanea).

La conoscenza della struttura degli stati |j,m_j〉 è essenziale per calcolare valori medi di operatori quali Lz, Sz, Jz, o momenti di dipolo magnetico e per discutere le transizioni indotte da perturbazioni (ad esempio campi elettromagnetici). L’accoppiamento tra L e S e la conseguente definizione di J rappresentano il punto di partenza di buona parte della fisica atomica, spettroscopia e fisica dello spin.

L'ultimo passo è ricordare che, in generale, questi accoppiamenti non si limitano a singola particella: quando si considerano sistemi composti, come due particelle con spin, l’algoritmo è analogo. La somma di due spin s1 e s2, ad esempio, fornisce un totale S, e poi questo S può essere combinato con L per ottenere J. Il procedimento si ripete ricorsivamente per sistemi con più gradi di libertà, ottenendo una struttura gerarchica di coefficienti e combinazioni di stati sempre più complessa.

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