Nella meccanica quantistica, il momento angolare è un osservabile fondamentale. Oltre al momento angolare orbitale \(\mathbf{L}\), possono esserci contributi dallo spin \(\mathbf{S}\) o da altri momenti angolari intrinseci. Quando si devono combinare due momenti angolari quantistici \(\mathbf{J}_1\) e \(\mathbf{J}_2\), il risultato è un nuovo momento angolare totale \(\mathbf{J} = \mathbf{J}_1 + \mathbf{J}_2\). Questo processo non è una semplice somma vettoriale classica: la quantizzazione del momento angolare richiede regole specifiche per determinare i numeri quantici del sistema risultante.
I momenti angolari quantistici sono caratterizzati da due numeri quantici: \(j\) e \(m_j\), dove \(j\) può essere intero o semi-intero, e \(m_j\) varia da \(-j\) a \(+j\) a passi di 1. Se \(\mathbf{J}_1\) ha numeri quantici \((j_1, m_1)\) e \(\mathbf{J}_2\) ha \((j_2, m_2)\), la combinazione porta a \(\mathbf{J}\) con numeri quantici \((j, m_j)\) dove:
\[ j = |j_1 - j_2|, |j_1 - j_2|+1, \dots, j_1 + j_2 \] e per un dato \(j\), \(m_j = m_1 + m_2.\)La regola fondamentale è che i possibili valori di \(j\) del momento angolare totale sono compresi tra \( |j_1 - j_2| \) e \( j_1 + j_2 \), aumentando di unità. Questo significa che se ad esempio \( j_1=1 \) e \( j_2=\frac{1}{2} \), i possibili \(j\) sono \(\frac{1}{2}\) e \(\frac{3}{2}\). Inoltre, le proiezioni \(m_j\) si ottengono sommando \(m_1\) e \(m_2\), poiché l’operatore \(J_z\) (la componente z del momento angolare totale) è semplicemente la somma degli operatori \(J_{1z} + J_{2z}\).
Per costruire esplicitamente gli autostati \(|j,m_j\rangle\) a partire dai prodotti tensoriali degli stati \(|j_1,m_1\rangle|j_2,m_2\rangle\), si usano i coefficienti di Clebsch-Gordan. Questi coefficienti forniscono i pesi delle combinazioni lineari e sono tabulati o calcolabili per ciascuna combinazione:
\[ |j,m_j\rangle = \sum_{m_1,m_2} C_{j_1,j_2,m_1,m_2}^{j,m_j} |j_1,m_1\rangle |j_2,m_2\rangle, \] dove \(C_{j_1,j_2,m_1,m_2}^{j,m_j}\) sono proprio i coefficienti di Clebsch-Gordan. Essi assicurano la corretta ortonormalità e la trasformazione unitaria tra le basi \(\{|j_1,m_1\rangle|j_2,m_2\rangle\}\) e \(\{|j,m_j\rangle\}.\)Un esempio classico: composizione di spin. Prendi due spin 1/2 (come due elettroni). Ognuno ha \(j_1=j_2=\frac{1}{2}\), i possibili \(j\) sono 0 e 1. Il risultato sono un tripletto (con \(j=1\), tre stati: \(m_j=1,0,-1\)) e un singoletto (con \(j=0\), un solo stato \(m_j=0\)). Questo è fondamentale per descrivere legami chimici (stato singoletto) o proprietà magnetiche (stati tripletto).
La composizione di momenti angolari consente di capire come combinare il momento angolare orbitale con lo spin per descrivere, ad esempio, i livelli atomici o nucleari. È anche alla base della descrizione di sistemi con più particelle dotate di spin, permettendo di identificare stati di spin totale definiti e discutere fenomeni come la simmetria di scambio, la struttura fine degli spettri atomici o le proprietà di coppie di particelle correlate.
Considerare un esempio concreto: si abbia un sistema con due momenti angolari quantizzati, per il primo \( j_1 \) con valore 1, per il secondo \( j_2 \) con valore 1/2. Le regole di somma del momento angolare indicano che il momento totale \( j \) può assumere i valori \( j = j_1 + j_2 = 1 + 1/2 = 3/2 \) oppure \( j = |j_1 - j_2| = |1 - 1/2| = 1/2 \). Ci si ritrova dunque con due possibili valori: \( j=3/2 \) e \( j=1/2 \).
L'insieme degli stati di partenza è dato dal prodotto tensoriale degli stati di \( j_1=1 \) e \( j_2=1/2 \). In particolare, se si definiscono: - per \( j_1=1 \) gli stati \( |1,m_1\rangle \) con \( m_1 \in \{-1,0,1\} \), - per \( j_2=1/2 \) gli stati \( |1/2,m_2\rangle \) con \( m_2 \in \{-1/2,+1/2\} \). Si avranno in totale 3 (dal primo) × 2 (dal secondo) = 6 stati di base iniziali: \(|1,-1\rangle|1/2,-1/2\rangle,\; |1,-1\rangle|1/2,+1/2\rangle,\; |1,0\rangle|1/2,-1/2\rangle,\; |1,0\rangle|1/2,+1/2\rangle,\; |1,1\rangle|1/2,-1/2\rangle,\; |1,1\rangle|1/2,+1/2\rangle.\)
I coefficienti di Clebsch-Gordan permettono di ricombinare questi 6 stati in una nuova base \( |j,m_j\rangle \) con \( j=3/2 \) (quattro stati: \( m_j \in \{-3/2,-1/2,+1/2,+3/2\} \)) e \( j=1/2 \) (due stati: \( m_j \in \{-1/2,+1/2\} \)). Ogni stato \( |j,m_j\rangle \) è una combinazione lineare degli stati del tipo \( |j_1,m_1\rangle|j_2,m_2\rangle \) con prefattori dati dai Clebsch-Gordan \( C_{j_1,j_2,m_1,m_2}^{j,m_j} \).
Per esempio, nel caso \( j=3/2, m_j=3/2 \) si otterrà un'unica combinazione possibile: \(|3/2,3/2\rangle = |1,1\rangle|1/2,1/2\rangle\) poiché \( m_j = m_1 + m_2 = 1 + 1/2 = 3/2 \). Il coefficiente di Clebsch-Gordan associato a questa combinazione è 1, quindi nessun problema di normalizzazione in questo caso, è già normalizzato.
Come verifica del processo di normalizzazione: Una volta ottenuti tutti gli stati \( |j,m_j\rangle \) come somme di termini \( C_{j_1,j_2,m_1,m_2}^{j,m_j}|j_1,m_1\rangle|j_2,m_2\rangle \), si deve verificare che: \(\langle j,m_j|j,m_j\rangle = \sum_{m_1,m_2,m_1',m_2'} C_{j_1,j_2,m_1,m_2}^{j,m_j*}C_{j_1,j_2,m_1',m_2'}^{j,m_j}\langle j_1,m_1|j_1,m_1'\rangle \langle j_2,m_2|j_2,m_2'\rangle\). Siccome gli stati di partenza \(|j_1,m_1\rangle\) e \(|j_2,m_2\rangle\) erano normalizzati e ortonormali, i prodotti \(\langle j_1,m_1|j_1,m_1'\rangle = \delta_{m_1,m_1'}\) e \(\langle j_2,m_2|j_2,m_2'\rangle = \delta_{m_2,m_2'}\). Di conseguenza, rimane: \(\langle j,m_j|j,m_j\rangle = \sum_{m_1,m_2} |C_{j_1,j_2,m_1,m_2}^{j,m_j}|^2.\)
La definizione dei coefficienti di Clebsch-Gordan è tale che questa somma risultante è sempre 1, garantendo la normalizzazione. Se si vuol fare una verifica concreta, si prende per ogni \( j,m_j \) la tabella dei Clebsch-Gordan relativa e si sommano i quadrati dei moduli. Se il risultato è 1, la normalizzazione è confermata. In caso di dubbio o potenziali errori nei coefficienti, questa procedura di controllo serve a scongiurare errori di calcolo.
In una misura sperimentale, se ad esempio si misura il valore di \(J^2\) e si trova \(j(j+1)\hbar^2\) con \( j=3/2 \), allora lo stato del sistema colasserebbe in uno degli autostati corrispondenti a quel \(j\). Se precedentemente lo stato era una combinazione di \( j=3/2 \) e \( j=1/2 \), allora la probabilità di ottenere \( j=3/2 \) è la somma dei quadrati dei coefficienti (moduli) dei componenti con \( j=3/2 \) nella sovrapposizione. Supponendo, ad esempio, che dal calcolo si sia ottenuto un contributo \( 1/\sqrt{3} \) per un certo stato con \( j=3/2 \), allora la probabilità associata a quel canale è \((1/\sqrt{3})^2 = 1/3\). In questo modo si determina la probabilità di ogni risultato di misura.
Se un gradino di verifica è essenziale, si può ripetere calcolo per calcolo: - prendere ogni coppia \((m_1,m_2)\), - usare i Clebsch-Gordan relativi a \((j_1,j_2)\to j\), - inserire i coefficienti e sommare i quadrati, - controllare che il risultato totale sia uno. Questa è un’operazione noiosa, ma fondamentale se si ha il timore di aver inserito segni o fattori errati. È come un test di coerenza: se la normalizzazione non torna a 1, vuol dire che c’è un errore da qualche parte.
Riassumendo senza abusare di elenchi, l’approccio standard per ottenere stati correttamente normalizzati e ben definiti nella composizione di momenti angolari è ricorrere all’uso dei Clebsch-Gordan. Essi garantiscono in modo intrinseco le proprietà di ortonormalità, purché le tabelle standard o le formule di generazione siano utilizzate correttamente. Qualora si modifichino le fasi o si scelgano convenzioni diverse, basta ricontrollare la normalizzazione dei nuovi stati, ricalcolando il prodotto interno, e infine assicurarsi che la probabilità totale per i canali considerati sia unitaria.
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