Il momento angolare di spin è una grandezza quantistica intrinseca associata a particelle elementari (come gli elettroni), particelle composte (come protoni e neutroni, assemblati da quark) e, in generale, a sistemi quantistici dotati di spin. Quando si considerano sistemi con due o più particelle dotate di spin, diventa centrale capire come questi singoli spin si combinino per formare stati con un momento angolare totale ben definito.
Si parte, in generale, da due particelle con spin \(s_1\) e \(s_2\). Gli stati individuali sono autostati di \( \hat{S}_1^2, \hat{S}_{1z} \) e \( \hat{S}_2^2, \hat{S}_{2z} \), dove \( \hat{S}_{iz} \) è la componente z dello spin della particella i, e \(\hat{S}_i^2\) l’operatore associato alla grandezza del suo spin. L’obiettivo finale è costruire stati che siano autostati dell’operatore totale \( \hat{S}^2 = (\hat{S}_1 + \hat{S}_2)^2 \) e \(\hat{S}_z = \hat{S}_{1z} + \hat{S}_{2z}\), in modo da avere una descrizione completa del sistema combinato.
La regola generale per combinare due spin \(s_1\) e \(s_2\) è che i possibili valori del momento angolare totale \(s\) vanno da \(|s_1 - s_2|\) a \(s_1 + s_2\), in incrementi unitari:
\[ s = |s_1 - s_2|, |s_1 - s_2|+1, \dots , s_1 + s_2. \]Per ciascun valore di \(s\), il numero quantico \(m_s\) (la componente del momento angolare totale sull’asse z) assume valori interi o seminteri da \(-s\) a \(+s\):
\[ m_s = -s, -s+1, \dots , s-1, s. \]Un esempio classico è la combinazione di due spin \( \tfrac{1}{2} \), come due elettroni: i possibili valori di \(s\) sono \( s=1 \) (tripletto) e \( s=0 \) (singoletto). Il tripletto presenta tre stati con \(m_s = 1,0,-1\), mentre il singoletto è un unico stato con \(m_s=0\). Questi stati formano una base di riferimento fondamentale per descrivere sistemi a due spin semi-interi.
I nuovi stati \(|s, m_s \rangle\) si ottengono come combinazioni lineari degli stati di prodotto \(|s_1, m_{s1}\rangle|s_2, m_{s2}\rangle\). Tale relazione è espressa tramite i coefficienti di Clebsch-Gordan (CG), che fungono da "matrice di transizione" tra la base dei singoli spin e la base degli stati di spin totale:
\[ |s,m_s\rangle = \sum_{m_{s1}, m_{s2}} C_{s_1,m_{s1}; s_2,m_{s2}}^{s,m_s} \, |s_1, m_{s1}\rangle|s_2, m_{s2}\rangle. \]Questi coefficienti, derivati da principi di simmetria e dall’azione degli operatori di innalzamento e abbassamento \(\hat{S}_\pm\), possono essere reperiti in tabelle standard o calcolati al bisogno. Essi garantiscono che la trasformazione sia unitaria e che vengano mantenute le proprietà di ortogonalità e normalizzazione degli stati quantistici.
Se l’autovalore di energia associato a un dato stato non è unico, si parla di degenerazione. Nel caso della composizione di spin, più stati diversi possono avere lo stesso valore di \(s\) ed energia identica. Questo permette una certa libertà nella scelta della base all’interno dello spazio degenere, spesso sfruttata per adottare stati con ulteriori proprietà di simmetria.
La composizione dello spin è poi strettamente connessa alla simmetria rispetto allo scambio di particelle identiche. Per fermioni (come gli elettroni), lo stato totale deve essere antisimmetrico rispetto allo scambio di due particelle. La componente di spin può contribuire a questa antisimmetria (come nello stato singoletto di due elettroni) o può essere simmetrica, a condizione che la parte spaziale compensi. Per i bosoni, invece, lo stato totale è simmetrico. La comprensione della composizione degli spin è dunque cruciale per determinare la struttura globale dello stato, tenendo conto sia della parte spaziale che di quella di spin.
In sistemi con più di due spin, ad esempio tre spin 1/2, la procedura si generalizza applicando la composizione passo dopo passo. Prima si combinano due spin in uno stato totale, poi si combina il risultato col terzo spin, e così via. Le complessità crescono rapidamente, ma i principi restano gli stessi. Per tali casi, si utilizzano ancora i coefficienti di Clebsch-Gordan o strumenti equivalenti (spesso assistiti da software) per gestire la proliferazione di combinazioni.
La corretta composizione degli spin è alla base di fenomeni fisici come:
In definitiva, la composizione degli spin non è un mero esercizio algebrico: è uno strumento essenziale per interpretare la struttura interna dei sistemi quantistici, la loro statistica, la loro dinamica e le loro proprietà sperimentali. Grazie ai coefficienti di Clebsch-Gordan e ai principi generali dell’aggiunta dei momenti angolari, possiamo affrontare e comprendere un’ampia varietà di fenomeni fisici.
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