Conservazione della Probabilità

Uno dei pilastri fondamentali della meccanica quantistica è la conservazione della probabilità. Dal punto di vista fisico, se \(\psi(\mathbf{r},t)\) è la funzione d’onda che descrive un sistema, il modulo quadro \(|\psi(\mathbf{r},t)|^2\) rappresenta la densità di probabilità di trovare la particella nella posizione \(\mathbf{r}\) al tempo \(t\). Poiché la particella deve trovarsi da qualche parte nell’intero spazio, la probabilità totale deve rimanere costante nel tempo.

L’equazione di Schrödinger ci permette di ricavare una relazione di continuità, analoga a quella che si ha per la conservazione della carica in elettrodinamica classica. Questa relazione garantisce che la probabilità totale non vari nel tempo.

Densità di Probabilità e Corrente di Probabilità

Definiamo due grandezze fondamentali:

Se il sistema è descritto dall’equazione di Schrödinger:

\[ i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r},t) = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) \right]\psi(\mathbf{r},t), \] possiamo, tramite qualche passaggio algebrico, derivare una relazione di continuità per \(\rho\) e \(\mathbf{j}\).

La Relazione di Continuità

Combinando l’equazione di Schrödinger con la sua complessa coniugata, ed effettuando alcune manipolazioni (derivate, moltiplicazioni per \(\psi^*\) o \(\psi\), e sottrazioni), si ottiene:

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0. \]

Questa è una equazione di continuità, del tutto analoga a quelle incontrate in altri contesti fisici. Il significato è chiaro: la variazione nel tempo della densità di probabilità in un volume dello spazio è compensata dal flusso (corrente) di probabilità attraverso le pareti di quel volume. Ciò assicura che la probabilità totale rimanga costante nel tempo.

Espressione della Corrente di Probabilità

Dall’equazione di Schrödinger, si può mostrare che la corrente di probabilità (per una particella di massa \(m\)) è data da:

\[ \mathbf{j}(\mathbf{r},t) = \frac{\hbar}{m} \text{Im}[\psi^*(\mathbf{r},t)\nabla\psi(\mathbf{r},t)], \] dove \(\text{Im}[\cdot]\) indica la parte immaginaria. Un’altra forma equivalente e spesso utilizzata è:

\[ \mathbf{j}(\mathbf{r},t) = \frac{\hbar}{2mi}[\psi^*\nabla\psi - \psi \nabla\psi^*]. \]

Questa espressione mostra che la corrente di probabilità dipende dal gradiente della fase della funzione d’onda e dà un’interpretazione fisica del flusso di probabilità nello spazio quantistico.

Alla Lavagna

1. Scrivi \(\rho = |\psi|^2\).
2. Disegna un volume immaginario nello spazio e spiega che la probabilità totale nel volume è \(\int_V |\psi|^2 d^3r\).

3. Mostra l’equazione di continuità: \(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0\).

4. Spiega che se integriamo su tutto lo spazio: \[ \frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty} |\psi|^2 d^3r = - \int_{-\infty}^{\infty} \nabla \cdot \mathbf{j}\, d^3r. \] Usando il teorema della divergenza e assumendo che \(\mathbf{j}\) vada a zero all’infinito, otteniamo che la probabilità totale si conserva.

5. Sottolinea che questa conservazione deriva direttamente dall’equazione di Schrödinger, garantendo la coerenza interna della teoria quantistica.

Interpretazione Fisica

La conservazione della probabilità è fondamentale per dare senso fisico alla meccanica quantistica. Se così non fosse, potremmo trovare “particelle che scompaiono” o “nascono dal nulla” durante l’evoluzione temporale, il che non avrebbe alcun significato fisico. Invece, la teoria assicura che la probabilità totale di trovare la particella da qualche parte nell’universo rimane sempre uguale a 1.

Conclusione

L’equazione di continuità per la densità di probabilità e la corrente di probabilità garantisce la conservazione della probabilità nella meccanica quantistica non relativistica. È un risultato diretto dell’equazione di Schrödinger e della natura hermitiana dell’operatore Hamiltoniano. Questo principio assicura la consistenza probabilistica della teoria, rendendo la meccanica quantistica una teoria coerente dal punto di vista fisico.

Ulteriore Chiarimento dei Passaggi Matematici sulla Lavagna

Alla lavagna, per comprendere nel dettaglio come si passa dall’equazione di Schrödinger alla relazione di continuità, possiamo eseguire i passaggi matematici chiave punto per punto, enfatizzando la manipolazione delle equazioni differenziali.

  1. Punto di partenza: L’equazione di Schrödinger: \[ i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r}, t) = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r})\right)\psi(\mathbf{r}, t). \] Prendiamo il complesso coniugato di questa equazione. Se \(\psi\) soddisfa l’equazione, anche \(\psi^*\) soddisfa l’equazione coniugata: \[ -i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi^*(\mathbf{r}, t) = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r})\right)\psi^*(\mathbf{r}, t), \] poiché \(V(\mathbf{r})\) è reale.
  2. Formare il prodotto \(\psi^*(\mathbf{r}, t)\cdot [\text{Eq. Schrödinger}]\) e \(\psi(\mathbf{r}, t)\cdot [\text{Eq. Coniugata}]\): Moltiplichiamo la prima equazione per \(\psi^*(\mathbf{r}, t)\) e la seconda per \(\psi(\mathbf{r}, t)\). Otteniamo: \[ \psi^*(\mathbf{r}, t) \left(i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}\right) = \psi^*(\mathbf{r}, t) \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi + V\psi \right), \] e \[ \psi(\mathbf{r}, t) \left(-i \hbar \frac{\partial \psi^*}{\partial t}\right) = \psi(\mathbf{r}, t) \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi^* + V\psi^* \right). \]
  3. Sottrazione delle due equazioni: Ora consideriamo: \[ \psi^*(i\hbar \partial_t \psi) - \psi(-i\hbar \partial_t \psi^*) = \psi^*(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi + V\psi) - \psi(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi^* + V\psi^*). \] Sull’altro lato, notiamo che i termini con \(V\) si cancelleranno, perché: \[ \psi^*V\psi - \psi V \psi^* = V(\psi^*\psi - \psi\psi^*)=0. \] Rimangono dunque i termini con le derivate temporali e il laplaciano: \[ i\hbar(\psi^*\partial_t \psi - \psi \partial_t \psi^*) = -\frac{\hbar^2}{2m}(\psi^*\nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \psi^*). \]
  4. Definizione di \(\rho\) e manipolazione delle derivate spaziali: Ricordiamo \(\rho(\mathbf{r}, t) = |\psi|^2 = \psi^*\psi\). La derivata temporale di \(\rho\) è: \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}(\psi^*\psi) = \psi^*\frac{\partial \psi}{\partial t} + \psi \frac{\partial \psi^*}{\partial t}. \] Dall’equazione precedente, abbiamo un’espressione che mette in relazione \(\partial_t \psi\) e \(\partial_t \psi^*\) con il laplaciano. Con qualche passo algebrico (sostituendo le derivate temporali dalle equazioni di Schrödinger e coniugata), si ottiene: \[ i\hbar(\psi^*\partial_t \psi - \psi \partial_t \psi^*) = i\hbar \frac{\partial}{\partial t}(\psi^*\psi) = i\hbar \frac{\partial \rho}{\partial t}. \] Dal lato spaziale: \[ \psi^*\nabla^2\psi - \psi\nabla^2\psi^* \] può essere riscritto come divergenza di qualcosa. In particolare, usando l’identità vettoriale appropriata, si ottiene: \[ \frac{\hbar^2}{2m}(\psi^*\nabla^2\psi - \psi\nabla^2\psi^*) = \nabla \cdot \left(\frac{\hbar}{2mi}[\psi^*\nabla\psi - \psi\nabla\psi^*]\right). \] Questa quantità tra parentesi è esattamente \(\mathbf{j}\), la corrente di probabilità: \[ \mathbf{j}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hbar}{2mi}[\psi^*\nabla\psi - \psi\nabla\psi^*]. \]
  5. Ottenere la continuità: Raccogliendo tutti i termini, si arriva alla forma finale: \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0. \] Questa è l’equazione di continuità della probabilità. Integrando su tutto lo spazio e assumendo che \(\mathbf{j}\) vada a zero all’infinito, la probabilità totale: \[ P(t) = \int |\psi(\mathbf{r}, t)|^2 d^3r \] risulta costante nel tempo.

Questi passaggi matematici mostrano esplicitamente come il semplice fatto che \(\hat{H}\) sia hermitiano e che \(\psi\) soddisfi l’equazione di Schrödinger, assicuri la conservazione della probabilità. Ogni tassello, dal prendere la coniugata complessa all’effettuare le giuste sottrazioni e usare l’analogia con le equazioni di continuità classiche, è essenziale per garantire la coerenza probabilistica della teoria quantistica.

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