Rappresentazione delle Coordinate e degli Impulsi

Concetti fondamentali

Nella meccanica quantistica, la rappresentazione delle coordinate e degli impulsi costituisce il ponte tra lo spazio reale e lo spazio degli impulsi. Ogni stato quantistico può essere descritto in entrambi gli spazi, con una relazione diretta attraverso la trasformata di Fourier.

Rappresentazione nello spazio delle coordinate

La rappresentazione nello spazio delle coordinate descrive la funzione d'onda come una dipendenza dalla posizione:
\[ \psi(x) = \langle x|\psi\rangle \]
Qui, \( |x\rangle \) è l'autostato dell'operatore posizione \( \hat{x} \), che soddisfa:
\[ \hat{x}|x\rangle = x|x\rangle \]
Gli operatori posizione e impulso nella rappresentazione delle coordinate sono rispettivamente:
\[ \hat{x} = x, \quad \hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x} \]

Rappresentazione nello spazio degli impulsi

La rappresentazione nello spazio degli impulsi esprime la funzione d'onda in termini della quantità di moto:
\[ \psi(p) = \langle p|\psi\rangle \]
Dove \( |p\rangle \) è l'autostato dell'operatore impulso \( \hat{p} \), con:
\[ \hat{p}|p\rangle = p|p\rangle \]
Gli operatori impulso e posizione nella rappresentazione degli impulsi sono:
\[ \hat{p} = p, \quad \hat{x} = i\hbar\frac{\partial}{\partial p} \]

Relazione tra coordinate e impulsi

Le due rappresentazioni sono collegate attraverso la trasformata di Fourier:
\[ \psi(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{i}{\hbar}px} \psi(x) \, dx \]
La trasformazione inversa è:
\[ \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^\infty e^{\frac{i}{\hbar}px} \psi(p) \, dp \]

Commutazione e relazioni di incertezza

Gli operatori posizione e impulso soddisfano la relazione di commutazione fondamentale:
\[ [\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar \]
Questa relazione implica il principio di indeterminazione di Heisenberg:
\[ \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]

Interpretazione fisica

Nello spazio delle coordinate, la densità di probabilità è data da \( |\psi(x)|^2 \), che rappresenta la probabilità di trovare la particella in una determinata posizione. Nello spazio degli impulsi, \( |\psi(p)|^2 \) rappresenta la probabilità che la particella abbia una determinata quantità di moto. Ritorna all'Indice