Momento Angolare in Coordinate Sferiche
Descrizione
Il momento angolare in coordinate sferiche è una delle rappresentazioni fondamentali per lo studio degli operatori di momento angolare nella meccanica quantistica. Utilizzando le coordinate sferiche \((r, \theta, \phi)\), gli operatori di momento angolare sono descritti in termini delle loro componenti \( L_x, L_y, L_z \) e del modulo totale \( L^2 \).
Operatore \(L^2\)
L'operatore del modulo del momento angolare è dato da:
\[
L^2 = -\hbar^2 \left[ \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta} \left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial\theta} \right) + \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2}{\partial\phi^2} \right]
\]
Operatore \(L_z\)
L'operatore della componente \(z\) del momento angolare è:
\[
L_z = -i\hbar \frac{\partial}{\partial\phi}
\]
Autofunzioni di \(L^2\) e \(L_z\)
Le autofunzioni simultanee di \(L^2\) e \(L_z\) sono le armoniche sferiche \(Y_l^m(\theta, \phi)\), definite come:
\[
Y_l^m(\theta, \phi) = N_{l,m} P_l^m(\cos\theta) e^{im\phi}
\]
dove:
- \( l \): Numero quantico del momento angolare totale (\( l = 0, 1, 2, \ldots \))
- \( m \): Numero quantico del momento angolare z (\( m = -l, -l+1, \ldots, l \))
- \( N_{l,m} \): Fattore di normalizzazione
- \( P_l^m(\cos\theta) \): Polinomi associati di Legendre
Proprietà degli operatori
Gli operatori di momento angolare soddisfano le relazioni di commutazione fondamentali:
\[
[L_x, L_y] = i\hbar L_z, \quad [L_y, L_z] = i\hbar L_x, \quad [L_z, L_x] = i\hbar L_y
\]
Inoltre:
\[
[L^2, L_x] = [L^2, L_y] = [L^2, L_z] = 0
\]
Questo implica che \(L^2\) e una qualunque componente (\(L_z\), per convenzione) possono essere misurate simultaneamente.
Applicazioni
- Studio degli stati quantistici in sistemi a simmetria sferica, come l'atomo di idrogeno.
- Calcolo degli stati angolari in fisica nucleare e molecolare.
- Descrizione delle onde piane in coordinate sferiche tramite espansione in armoniche sferiche.
Coordinate Sferiche
Definizione
Le coordinate sferiche sono un sistema di riferimento utile per descrivere problemi con simmetria sferica. In questo sistema, la posizione di un punto nello spazio è definita da tre coordinate:
- \( r \): distanza radiale, ovvero la distanza del punto dall'origine.
- \( \theta \): angolo zenitale, misurato rispetto all'asse \( z \) (intervallo \( [0, \pi] \)).
- \( \phi \): angolo azimutale, misurato nel piano \( xy \) rispetto all'asse \( x \) (intervallo \( [0, 2\pi] \)).
Relazioni con le coordinate cartesiane
Le coordinate sferiche sono collegate alle coordinate cartesiane tramite le seguenti relazioni:
\[
x = r \sin\theta \cos\phi, \quad y = r \sin\theta \sin\phi, \quad z = r \cos\theta
\]
Inversamente, le coordinate sferiche possono essere ottenute dalle coordinate cartesiane come:
\[
r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \quad \theta = \arccos\left(\frac{z}{r}\right), \quad \phi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)
\]
Elementi differenziali
L'elemento di lunghezza infinitesimale in coordinate sferiche è dato da:
\[
ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta \, d\phi^2
\]
L'elemento di volume infinitesimale è:
\[
dV = r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi
\]
Operatori differenziali
In coordinate sferiche, gli operatori differenziali assumono forme particolari utili per problemi con simmetria sferica:
1. Gradiente
\[
\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r} \hat{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} \hat{\theta} + \frac{1}{r \sin\theta} \frac{\partial f}{\partial \phi} \hat{\phi}
\]
2. Divergenza
\[
\nabla \cdot \vec{A} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 A_r \right) + \frac{1}{r \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta A_\theta \right) + \frac{1}{r \sin\theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}
\]
3. Laplaciano
\[
\nabla^2 f = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial f}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial f}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}
\]
Applicazioni
Le coordinate sferiche sono fondamentali per risolvere problemi di simmetria sferica, come:
- Studio del campo gravitazionale e del campo elettrico.
- Equazioni di Schrödinger per atomi idrogenoidi.
- Problemi di diffusione e propagazione delle onde.
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