Correzioni agli Autovalori

Nel contesto delle perturbazioni stazionarie, le correzioni agli autovalori dell'energia permettono di valutare gli effetti di un'interazione perturbativa su un sistema quantistico. Consideriamo un sistema descritto da un Hamiltoniano totale della forma:

\( H = H_0 + \lambda V \)

Qui, \( H_0 \) è l'Hamiltoniano non perturbato, i cui autovalori e autofunzioni sono noti:

\( H_0 \psi_n^{(0)} = E_n^{(0)} \psi_n^{(0)} \)

mentre \( \lambda V \) rappresenta una perturbazione di piccola entità rispetto a \( H_0 \).

Correzioni al Primo Ordine

Le correzioni al primo ordine per gli autovalori dell'energia si calcolano come il valore medio della perturbazione sull'autostato non perturbato:

\( E_n^{(1)} = \langle \psi_n^{(0)} | V | \psi_n^{(0)} \rangle \)

Questo risultato implica che l'energia al primo ordine dipende solo dallo stato iniziale \( \psi_n^{(0)} \) e dalla perturbazione \( V \).

Correzioni al Secondo Ordine

Le correzioni al secondo ordine per gli autovalori dell'energia introducono un contributo dovuto agli altri stati del sistema. La formula è:

\( E_n^{(2)} = \sum_{m \neq n} \frac{| \langle \psi_m^{(0)} | V | \psi_n^{(0)} \rangle |^2}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} \)

Questa espressione evidenzia che il secondo ordine tiene conto dell'accoppiamento tra lo stato di interesse \( n \) e gli stati \( m \) attraverso l'operatore perturbativo \( V \). Il denominatore rappresenta la differenza di energia tra lo stato perturbato e gli altri stati del sistema.

Validità dell'Approccio Perturbativo

L'approccio perturbativo è valido solo se la perturbazione è sufficientemente piccola da garantire che:

\( | E_n^{(1)} | \ll | E_n^{(0)} |, \quad | E_n^{(2)} | \ll | E_n^{(1)} | \)

Inoltre, il denominatore nella correzione al secondo ordine deve essere diverso da zero, cioè gli autovalori di \( H_0 \) devono essere non degeneri.

Calcolo Esplicito delle Correzioni

Per calcolare esplicitamente le correzioni agli autovalori fino al secondo ordine, consideriamo le autofunzioni e gli autovalori del sistema perturbato come serie espansive:

\[ E_n = E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \dots \] \[ \psi_n = \psi_n^{(0)} + \lambda \psi_n^{(1)} + \lambda^2 \psi_n^{(2)} + \dots \]

Inserendo queste espressioni nell'equazione di Schrödinger perturbata \( (H_0 + \lambda V) \psi_n = E_n \psi_n \) e confrontando i termini di ordine equivalente in \( \lambda \), otteniamo una serie di equazioni:

Equazione al Primo Ordine

L'equazione per i termini di primo ordine è:

\[ H_0 \psi_n^{(1)} + V \psi_n^{(0)} = E_n^{(0)} \psi_n^{(1)} + E_n^{(1)} \psi_n^{(0)} \]

Moltiplicando scalarmene per \( \psi_n^{(0)*} \) (autofunzione non perturbata), il primo termine sul lato sinistro si annulla grazie all'ortogonalità degli stati \( \psi_n^{(0)} \), ottenendo così la correzione al primo ordine:

\[ E_n^{(1)} = \langle \psi_n^{(0)} | V | \psi_n^{(0)} \rangle \]

Equazione al Secondo Ordine

Per i termini di secondo ordine, l'equazione risulta:

\[ H_0 \psi_n^{(2)} + V \psi_n^{(1)} = E_n^{(0)} \psi_n^{(2)} + E_n^{(1)} \psi_n^{(1)} + E_n^{(2)} \psi_n^{(0)} \]

Analogamente, moltiplicando scalarmene per \( \psi_n^{(0)*} \), otteniamo:

\[ E_n^{(2)} = \sum_{m \neq n} \frac{| \langle \psi_m^{(0)} | V | \psi_n^{(0)} \rangle |^2}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} \]

Qui, il termine \( | \langle \psi_m^{(0)} | V | \psi_n^{(0)} \rangle |^2 \) rappresenta il contributo dell'accoppiamento tra lo stato perturbato \( n \) e gli stati \( m \), mentre il denominatore indica la differenza energetica tra lo stato \( n \) e gli stati \( m \) di riferimento.

Degenerazione e Applicazioni

Nel caso di stati degeneri, l'approccio descritto non è valido poiché i denominatori \( E_n^{(0)} - E_m^{(0)} \) si annullano. In tali situazioni, è necessario diagonalizzare l'operatore perturbativo \( V \) nello spazio generato dagli stati degeneri. Questo porta a una rimozione della degenerazione e alla definizione di un nuovo insieme di stati propri del sistema perturbato.

Le correzioni agli autovalori giocano un ruolo fondamentale in molte applicazioni della meccanica quantistica, come il calcolo degli spettri atomici, l'interazione spin-orbita e i livelli energetici nelle molecole.

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