Correzioni all'Hamiltoniana

In meccanica quantistica, l’Hamiltoniana è l’operatore che rappresenta l’energia totale del sistema. Comprende generalmente la parte cinetica (rappresentata dall’operatore impulso) e la parte potenziale, responsabile delle forze agenti sulla particella. Quando si introducono correzioni all’Hamiltoniana, si modificano termini aggiuntivi che possono derivare, ad esempio, da effetti perturbativi, contributi relativistici, o interazioni supplementari.

1. Che cos’è un’Hamiltoniana?

L'Hamiltoniana si può pensare come la funzione (o operatore) energia del sistema. In meccanica classica, l’Hamiltoniana \(H\) di una particella di massa \(m\) soggetta a un potenziale \(V(x)\) ha la forma:

\( H = \frac{p^2}{2m} + V(x). \)

Nella quantizzazione si passa dai valori classici \(x, p\) a operatori quantistici \(\hat{x}, \hat{p}\) con la commutazione \([\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar\).

2. Costruzione dell’Hamiltoniana in Meccanica Quantistica

Sostituzione operatoriale:
\(x \to \hat{x}, \quad p \to -i\hbar \frac{d}{dx}.\)
Inserimento nel corrispettivo classico:
Se \(H = \frac{p^2}{2m} + V(x)\), allora \[ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + V(\hat{x}). \]
Soluzione di Schrödinger:
L’equazione di Schrödinger \[ \hat{H} \psi(x) = E \psi(x) \] determina gli autovalori (energie) e le autofunzioni (stati).

3. Correzioni all’Hamiltoniana

Quando si aggiungono effetti ulteriori (relativistici, interazioni spin–orbita, campi esterni, effetti di polarizzazione, ecc.), si introducono termini aggiuntivi in \(\hat{H}\). Ad esempio:

Termine di Darwin, termine di spin–orbita: correzioni relativistiche che modificano lievemente i livelli energetici.
Correzioni di Lamb shift: effetto quantistico di interazione col vuoto elettromagnetico.
Interazioni esterne: potenziale aggiuntivo da campo elettrico/magnetico esterno.

Tali correzioni vengono trattate spesso con metodi perturbativi, partendo dall’Hamiltoniana di base e aggiungendo un termine perturbazione \(\hat{H}'\).

4. Argomenti per l’orale di Meccanica Quantistica

Se ti viene richiesto di discutere l’Hamiltoniana e le sue correzioni all’orale, puoi seguire questi punti:

Definizione di Hamiltoniana: da equazione classica a quantistica, operatori \(\hat{x}, \hat{p}\).
Forme tipiche: particella libera, potenziale (buca, oscillatore, Coulomb), ecc.
Struttura degli autostati: risoluzione di \(\hat{H} \psi = E \psi\), discreto vs continuo.
Correzioni:
- Effetti relativistici (spin–orbita, Darwin term), spin e stati degeneri.
- Campi esterni (Zeeman, Stark).
- Perturbazione \(\hat{H} = \hat{H}_0 + \lambda \hat{V}\) e metodi perturbativi.

Approfondimenti sull’Hamiltoniana

1. Cos’è l’Hamiltoniana?

L’Hamiltoniana rappresenta l’energia totale di un sistema, composta da due parti:

Energia cinetica (\(T\)): È l’energia legata al movimento.
Energia potenziale (\(V\)): È l’energia dovuta alla posizione, come la gravità o una molla.

In termini classici, l’Hamiltoniana è una funzione \(H(q, p)\) delle coordinate \(q\) (posizione) e degli impulsi \(p\) (quantità di moto):

\( H(q, p) = T(p) + V(q). \)

Per esempio:

Particella libera (senza forze): \( H = \frac{p^2}{2m} \), dove tutto è energia cinetica.
Oscillatore armonico:
\( H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}kq^2, \)
dove \( \frac{1}{2}kq^2 \) è l’energia potenziale della molla.

2. Come funziona in meccanica quantistica?

In meccanica quantistica, l’Hamiltoniana diventa un operatore \(\hat{H}\) che agisce sulle funzioni d’onda \(\psi(x)\). Le coordinate \(q\) e gli impulsi \(p\) classici vengono sostituiti dagli operatori:

\( \hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx}, \quad \hat{q} = x. \)

Per esempio:

Particella libera:
\( \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2}. \)
Oscillatore armonico quantistico:
\( \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2. \)

L’equazione di Schrödinger collega l’Hamiltoniana agli stati quantistici del sistema:

\( \hat{H} \psi(x) = E \psi(x), \)

dove \(E\) sono le energie quantizzate (autovalori) e \(\psi(x)\) sono le funzioni d’onda associate (autostati).

3. Hamiltoniana in Forma Matriciale

In un sistema discreto, come l’oscillatore armonico, possiamo rappresentare l’Hamiltoniana come una matrice. Ad esempio, i primi livelli energetici dell’oscillatore armonico sono:

        H = ħω
            [ 1    0    0   ... ]
            [ 0    3    0   ... ]
            [ 0    0    5   ... ]
            [ ...  ...  ...  ... ]

Qui gli elementi diagonali rappresentano i livelli energetici \(E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega\), con \(n = 0, 1, 2, \ldots\).

4. Esempi Pratici

Ecco alcuni esempi che chiariscono il ruolo dell’Hamiltoniana:

Particella in una buca di potenziale (1D):
Una particella confinata in una buca di larghezza \(L\) ha un’energia cinetica \(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2}\) e una potenziale \(V(x)\) che è \(0\) dentro la buca e infinito fuori. I livelli energetici risultano quantizzati:

\( E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}, \quad n = 1, 2, 3, \ldots \)
Atomo di idrogeno:
L’Hamiltoniana per l’atomo d’idrogeno include l’energia cinetica dell’elettrone e il potenziale coulombiano:

\( \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 - \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r}. \)
I livelli energetici dipendono dal numero quantico principale \(n\):
\( E_n = -\frac{13.6\,\text{eV}}{n^2}, \quad n = 1, 2, 3, \ldots \)

5. Perché è Importante?

L’Hamiltoniana ci permette di:

Determinare i livelli energetici di un sistema (es. atomi, molecole, solidi).
Descrivere come i sistemi evolvono nel tempo (tramite l’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo).
Studiare l’effetto di correzioni, come interazioni spin-orbita, campi esterni o perturbazioni.

Approfondimenti sull’Hamiltoniana (2)

1. Perché si usa \(T\) invece di \(K\) per l’energia cinetica?

Storicamente, \(T\) è usato per l’energia cinetica perché deriva dal termine latino "vis viva" (energia viva), concetto precursore dell’attuale energia cinetica. Questo uso è stato consolidato nella formulazione di Lagrange e Hamilton per distinguerlo da \(K\), spesso associato a costanti o parametri specifici (ad esempio, \(K\) nella costante elastica della molla o nella costante di Coulomb).

Tuttavia, in molti contesti moderni, specialmente in fisica applicata, si usa \(K\) per indicare l’energia cinetica. L’uso di \(T\) o \(K\) dipende quindi dalla tradizione e dal contesto, ma entrambi sono accettabili.

2. Grafici: Energia Cinetica e Oscillatore Armonico

Visualizziamo ora l’Hamiltoniana in due casi: una particella libera (\(H = p^2/2m\)) e un oscillatore armonico (\(H = p^2/2m + \frac{1}{2}kx^2\)). I grafici aiutano a capire come variano energia cinetica e potenziale:

Grafico 1: Hamiltoniana di una particella libera (\(H = p^2 / 2m\))

Grafico 2: Hamiltoniana di un oscillatore armonico (\(H = p^2 / 2m + \frac{1}{2}kx^2\))

3. Da dove deriva \(H = \frac{p^2}{2m}\)?

La formula \(H = \frac{p^2}{2m}\) si ottiene a partire dalla definizione classica di energia cinetica, che è l’energia associata al movimento di una particella:

\( T = \frac{1}{2}mv^2. \)

Qui \(m\) rappresenta la massa e \(v\) è la velocità della particella. Per collegare questa espressione con \(p\), ricordiamo la definizione classica di impulso:

\( p = mv, \)

che descrive la quantità di moto di una particella. Dividendo entrambi i lati per \(m\), otteniamo:

\( v = \frac{p}{m}. \)

Questa relazione ci dice che la velocità \(v\) di una particella può essere espressa in termini del suo impulso \(p\) e della sua massa \(m\). Ora sostituendo \(v = \frac{p}{m}\) nell’espressione dell’energia cinetica:

\( T = \frac{1}{2}m\left(\frac{p}{m}\right)^2. \)

Semplificando:

\( T = \frac{p^2}{2m}. \)

Questa è la forma dell’energia cinetica in termini dell’impulso \(p\).

Perché possiamo usare questa forma?

La scelta di \(H = \frac{p^2}{2m}\) deriva dal fatto che, in molte situazioni fisiche, è più utile descrivere il sistema in termini di \(p\) (impulso) piuttosto che di \(v\) (velocità). Ciò avviene perché:

In meccanica classica e quantistica: L’impulso \(p\) è una quantità conservata in molti sistemi (ad esempio, in assenza di forze esterne), rendendolo una variabile preferibile.
In quantistica: L’impulso \(p\) ha una rappresentazione diretta come operatore (\(\hat{p} = -i\hbar \frac{d}{dx}\)) ed è fondamentale per descrivere l’evoluzione di uno stato quantistico.
Generalità: La forma \(\frac{p^2}{2m}\) permette di trattare sistemi in più dimensioni e in diversi contesti (classici o quantistici) in modo uniforme.

In definitiva, esprimere \(T\) in termini di \(p\) è una scelta naturale quando si lavora con l’Hamiltoniana, poiché consente di integrare energia cinetica e potenziale in un unico formalismo che sfrutta \(p\) e \(q\) come variabili fondamentali.

4. Forma Matriciale: Significato e Utilità

La rappresentazione matriciale dell’Hamiltoniana è utile per descrivere sistemi quantistici discreti. Nel caso di un oscillatore armonico quantistico:

\( H_{nn} = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega \quad \text{(diagonale)}, \)

mentre i termini fuori diagonale rappresentano transizioni tra stati:

\( H_{n, n+1} \propto \sqrt{n+1}. \)

Questo approccio è fondamentale per calcolare le dinamiche quantistiche, come transizioni indotte da campi esterni.

5. Perché usare questi esempi?

Particella libera: È il modello più semplice per comprendere l’energia cinetica e l’Hamiltoniana.
Oscillatore armonico: È centrale in fisica teorica e applicata, con livelli energetici quantizzati utili per descrivere vibrazioni molecolari e stati coerenti.
Forma matriciale: Essenziale per calcolare dinamiche quantistiche in spazi discreti.

Correzioni Hamiltoniane

1. Prerequisiti

Prima di affrontare le correzioni Hamiltoniane, è fondamentale avere una comprensione chiara dei seguenti concetti:

Hamiltoniana di base: l’operatore che descrive l’energia totale del sistema, nella forma generale:
\( \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(\hat{x}). \)
Autovalori e autostati: gli stati quantistici \(\psi(x)\) e le energie \(E\) che soddisfano l’equazione di Schrödinger:
\( \hat{H} \psi(x) = E \psi(x). \)
Teoria delle perturbazioni: un metodo per calcolare come una piccola modifica all’Hamiltoniana (\(\hat{H}'\)) influisce sugli autovalori e autostati del sistema.

2. Cos’è una Correzione Hamiltoniana?

Le correzioni Hamiltoniane derivano dall’aggiunta di nuovi termini a \(\hat{H}\) per tenere conto di effetti aggiuntivi, come:

Effetti relativistici: termini come spin-orbita o Darwin derivano dall’espansione relativistica dell’equazione di Dirac.
Interazioni con campi esterni: termini di Zeeman (\(-\hat{\mu} \cdot \mathbf{B}\)) o di Stark (\(e \mathbf{E} \cdot \hat{\mathbf{r}}\)).
Effetti quantistici aggiuntivi: come il Lamb shift, derivante dall’interazione con il vuoto elettromagnetico.

In generale, l’Hamiltoniana si scrive come:

\( \hat{H} = \hat{H}_0 + \lambda \hat{H}', \)

dove \(\hat{H}_0\) è l’Hamiltoniana di base e \(\hat{H}'\) è il termine di correzione (con \(\lambda\) parametro di controllo).

3. Come ci si arriva?

Consideriamo l’Hamiltoniana di un atomo d’idrogeno come esempio. La forma di base è:

\( \hat{H}_0 = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 - \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r}. \)

Aggiungiamo ora due correzioni principali:

Correzione Spin-Orbita

Il termine spin-orbita tiene conto del fatto che, nel riferimento dell’elettrone, il nucleo produce un campo magnetico che interagisce con il momento angolare dello spin. Questo genera una correzione del tipo:

\( \hat{H}'_{\text{SO}} = \frac{\hbar^2}{2m^2c^2} \frac{1}{r} \frac{dV}{dr} (\hat{\mathbf{L}} \cdot \hat{\mathbf{S}}), \)

dove:

\(\hat{\mathbf{L}}\) è il momento angolare orbitale.
\(\hat{\mathbf{S}}\) è lo spin della particella.
\(V(r)\) è il potenziale coulombiano: \( V(r) = -\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r} \).

Sostituendo \( V(r) \) e calcolando la derivata \( \frac{dV}{dr} = \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r^2} \), otteniamo:

\( \hat{H}'_{\text{SO}} = \frac{\hbar^2 e^2}{8 \pi \epsilon_0 m^2 c^2 r^3} (\hat{\mathbf{L}} \cdot \hat{\mathbf{S}}). \)

Termine di Darwin

Il termine di Darwin tiene conto del comportamento relativistico dell’elettrone vicino al nucleo. La correzione è:

\( \hat{H}'_{\text{Darwin}} = \frac{\hbar^2}{8m^2c^2} \nabla^2 V(r), \)

dove \(\nabla^2 V(r)\) è il laplaciano del potenziale coulombiano:

\( \nabla^2 \left( \frac{1}{r} \right) = -4\pi \delta^{(3)}(r). \)

Questo porta a:

\( \hat{H}'_{\text{Darwin}} = -\frac{\hbar^2}{2m^2c^2} \delta^{(3)}(r). \)

4. Calcolo delle Correzioni

Per calcolare gli effetti delle correzioni, si utilizza la teoria delle perturbazioni. Al primo ordine, la correzione agli autovalori è data da:

\( E_n^{(1)} = \langle \psi_n^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle, \)

dove \(\psi_n^{(0)}\) sono gli autostati non perturbati. Ad esempio, per il termine spin-orbita:

\( E_n^{(1)} = \langle n, l, s, j | \hat{H}'_{\text{SO}} | n, l, s, j \rangle. \)

5. Interpretazione Fisica

Le correzioni Hamiltoniane permettono di spiegare fenomeni osservati sperimentalmente, come:

Struttura fine: Splitting nei livelli energetici dell’atomo d’idrogeno.
Effetto Zeeman: Interazione tra il momento magnetico e un campo esterno.
Lamb Shift: Spostamento dei livelli energetici dovuto alle fluttuazioni quantistiche del vuoto.

Questi effetti sono cruciali per la comprensione della fisica atomica e per testare la validità della teoria quantistica.

1. Prerequisiti

Hamiltoniana di base

L’Hamiltoniana è l’operatore che rappresenta l’energia totale di un sistema quantistico. Comprende:

Energia cinetica: Associata al movimento delle particelle, è espressa in termini dell’impulso:
\( \hat{T} = \frac{\hat{p}^2}{2m}, \)
dove \(\hat{p}\) è l’operatore impulso.
Energia potenziale: Dipende dalla posizione della particella e dalle forze presenti, ad esempio:
\( V(\hat{x}) = -\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r} \quad \text{(Coulombiana, per un atomo d’idrogeno)}. \)

La forma generale dell’Hamiltoniana di base è quindi:

\( \hat{H} = \hat{T} + V(\hat{x}) = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(\hat{x}). \)

L’Hamiltoniana agisce come operatore sull’onda \(\psi(x)\), determinando le proprietà quantistiche del sistema. Per esempio, nell’atomo d’idrogeno descrive i livelli energetici dell’elettrone legato al nucleo.

Autovalori e Autostati

L’equazione di Schrödinger collega l’Hamiltoniana agli stati quantistici del sistema:

\( \hat{H} \psi(x) = E \psi(x), \)

dove:

\(E\): gli autovalori, rappresentano le energie quantizzate del sistema.
\(\psi(x)\): gli autostati, descrivono le probabilità di trovare la particella in un certo punto \(x\).

Ad esempio, per una particella in una buca di potenziale di larghezza \(L\), la soluzione dell’equazione di Schrödinger fornisce:

\( E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}, \quad \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \)

con \(n = 1, 2, 3, \ldots\). Gli autovalori \(E_n\) corrispondono ai livelli energetici quantizzati, mentre gli autostati \(\psi_n(x)\) descrivono la probabilità di trovare la particella.

Teoria delle Perturbazioni

Spesso, l’Hamiltoniana \(\hat{H}\) include un termine aggiuntivo \(\hat{H}'\) per rappresentare effetti esterni o correzioni:

\( \hat{H} = \hat{H}_0 + \lambda \hat{H}', \)

dove:

\(\hat{H}_0\): Hamiltoniana di base, con soluzioni note (\(\psi_n^{(0)}\), \(E_n^{(0)}\)).
\(\hat{H}'\): perturbazione, descrive effetti aggiuntivi.
\(\lambda\): parametro che "pesa" l’entità della perturbazione.

La teoria delle perturbazioni consente di calcolare come \(\hat{H}'\) modifica gli autovalori e autostati del sistema. Gli autovalori corretti si espandono come:

\( E_n = E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \ldots, \)

mentre gli autostati diventano:

\( \psi_n = \psi_n^{(0)} + \lambda \psi_n^{(1)} + \ldots. \)

Al primo ordine, la correzione all’energia è data da:

\( E_n^{(1)} = \langle \psi_n^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle, \)

dove il termine \(\langle \psi_n^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle\) è chiamato elemento di matrice della perturbazione.

Esempio: Correzione Spin-Orbita

La correzione spin-orbita tiene conto dell’interazione tra il momento angolare orbitale \(\hat{\mathbf{L}}\) e lo spin \(\hat{\mathbf{S}}\) di una particella, come un elettrone nell’atomo d’idrogeno. In questo contesto, la correzione deriva dall’effetto relativistico del campo magnetico prodotto dal nucleo nel sistema di riferimento dell’elettrone.

1. Formula Generale

L’Hamiltoniana per il termine spin-orbita è data da:

\( \hat{H}'_{\text{SO}} = \frac{\hbar^2}{2m^2c^2} \frac{1}{r} \frac{dV}{dr} (\hat{\mathbf{L}} \cdot \hat{\mathbf{S}}), \)

dove:

\(m\): la massa dell’elettrone;
\(c\): la velocità della luce;
\(V(r)\): il potenziale coulombiano, dato da \(V(r) = -\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r}\);
\(\hat{\mathbf{L}} \cdot \hat{\mathbf{S}}\): il prodotto scalare tra momento angolare orbitale \(\hat{\mathbf{L}}\) e spin \(\hat{\mathbf{S}}\).

2. Derivazione del Termine

Sostituendo il potenziale coulombiano \(V(r) = -\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r}\) nella formula per \(\hat{H}'_{\text{SO}}\), calcoliamo la derivata rispetto a \(r\):

\[ \frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr} \left( -\frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r} \right) = \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r^2}. \]

Sostituendo \(\frac{dV}{dr}\) in \(\hat{H}'_{\text{SO}}\), otteniamo:

\[ \hat{H}'_{\text{SO}} = \frac{\hbar^2}{2m^2c^2} \frac{1}{r} \cdot \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r^2} \cdot (\hat{\mathbf{L}} \cdot \hat{\mathbf{S}}). \]

Semplificando, la forma finale del termine spin-orbita è:

\[ \hat{H}'_{\text{SO}} = \frac{\hbar^2 e^2}{8 \pi \epsilon_0 m^2 c^2 r^3} (\hat{\mathbf{L}} \cdot \hat{\mathbf{S}}). \]

3. Correzione Energetica al Primo Ordine

La teoria delle perturbazioni al primo ordine ci permette di calcolare la correzione all’energia associata al termine spin-orbita:

\[ E_{n,l,j}^{(1)} = \langle n, l, j | \hat{H}'_{\text{SO}} | n, l, j \rangle. \]

Qui \(|n, l, j\rangle\) rappresenta gli autostati dell’atomo d’idrogeno, caratterizzati dai numeri quantici:

\(n\): numero quantico principale;
\(l\): numero quantico orbitale;
\(j\): numero quantico totale (\(j = l \pm \frac{1}{2}\)).

4. Calcolo del Prodotto Scalare \(\hat{\mathbf{L}} \cdot \hat{\mathbf{S}}\)

Il termine \(\hat{\mathbf{L}} \cdot \hat{\mathbf{S}}\) può essere riscritto in termini di \(\hat{\mathbf{J}}\), il momento angolare totale:

\[ \hat{\mathbf{L}} \cdot \hat{\mathbf{S}} = \frac{1}{2} \left( \hat{\mathbf{J}}^2 - \hat{\mathbf{L}}^2 - \hat{\mathbf{S}}^2 \right), \]

dove:

\(\hat{\mathbf{J}}^2 = j(j+1)\hbar^2\);
\(\hat{\mathbf{L}}^2 = l(l+1)\hbar^2\);
\(\hat{\mathbf{S}}^2 = s(s+1)\hbar^2\), con \(s = \frac{1}{2}\) per l’elettrone.

Sostituendo queste espressioni, otteniamo:

\[ \langle n, l, j | \hat{\mathbf{L}} \cdot \hat{\mathbf{S}} | n, l, j \rangle = \frac{\hbar^2}{2} \left[ j(j+1) - l(l+1) - \frac{3}{4} \right]. \]

5. Risultato Finale

La correzione energetica al livello \((n, l, j)\) diventa quindi:

\[ E_{n,l,j}^{(1)} = \frac{\hbar^2 e^2}{8 \pi \epsilon_0 m^2 c^2 a_0^3 n^3} \left[ j(j+1) - l(l+1) - \frac{3}{4} \right], \]

dove \(a_0\) è il raggio di Bohr (\(a_0 = \frac{4\pi \epsilon_0 \hbar^2}{m e^2}\)).

6. Interpretazione

Questo risultato spiega lo splitting fine osservato nell’atomo d’idrogeno, cioè la separazione dei livelli energetici in funzione di \(j\). Questo fenomeno è stato confermato sperimentalmente e rappresenta una delle prime verifiche della teoria quantistica relativistica.

Esempio: Interazione Zeeman

L’interazione Zeeman descrive come un campo magnetico esterno \(\mathbf{B}\) interagisce con il momento magnetico \(\hat{\boldsymbol{\mu}}\) di una particella. Questa interazione produce uno splitting (separazione) dei livelli energetici in funzione della proiezione del momento angolare totale sul campo magnetico.

1. L’Hamiltoniana di Interazione

L’Hamiltoniana associata all’interazione Zeeman è:

\( \hat{H}'_{\text{Zeeman}} = - \hat{\boldsymbol{\mu}} \cdot \mathbf{B}, \)

dove \(\hat{\boldsymbol{\mu}}\) è il momento magnetico della particella, e \(\mathbf{B}\) è il campo magnetico esterno. Il momento magnetico \(\hat{\boldsymbol{\mu}}\) è dato da:

\( \hat{\boldsymbol{\mu}} = -\frac{e}{2m} (\hat{\mathbf{L}} + 2\hat{\mathbf{S}}), \)

con:

\(e\): carica dell’elettrone;
\(m\): massa dell’elettrone;
\(\hat{\mathbf{L}}\): momento angolare orbitale;
\(\hat{\mathbf{S}}\): momento angolare di spin.

2. Calcolo del Termine Hamiltoniano

Sostituendo \(\hat{\boldsymbol{\mu}}\) nell’espressione dell’Hamiltoniana di interazione, otteniamo:

\( \hat{H}'_{\text{Zeeman}} = \frac{e}{2m} \mathbf{B} \cdot (\hat{\mathbf{L}} + 2\hat{\mathbf{S}}). \)

Consideriamo ora un campo magnetico uniforme orientato lungo l’asse \(z\): \(\mathbf{B} = B \hat{\mathbf{z}}\). Il prodotto scalare diventa:

\( \hat{H}'_{\text{Zeeman}} = \frac{eB}{2m} (\hat{L}_z + 2\hat{S}_z), \)

dove \(\hat{L}_z\) e \(\hat{S}_z\) sono le componenti \(z\) di \(\hat{\mathbf{L}}\) e \(\hat{\mathbf{S}}\), rispettivamente. Questi operatori hanno autovalori dati da:

\(\hat{L}_z: m_l \hbar\), con \(m_l = -l, -l+1, \ldots, l\);
\(\hat{S}_z: m_s \hbar\), con \(m_s = -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\).

3. Correzione Energetica al Primo Ordine

La teoria delle perturbazioni al primo ordine consente di calcolare la modifica dell’energia di un sistema quantistico quando viene introdotto un termine di perturbazione \(\hat{H}'\). La correzione energetica al primo ordine per uno stato \(|m_l, m_s\rangle\) è data da:

\( E_{m_l, m_s}^{(1)} = \langle m_l, m_s | \hat{H}'_{\text{Zeeman}} | m_l, m_s \rangle, \)

dove:

\(\hat{H}'_{\text{Zeeman}}\): l’Hamiltoniana della perturbazione Zeeman, definita come:
\( \hat{H}'_{\text{Zeeman}} = \frac{eB}{2m} (\hat{L}_z + 2\hat{S}_z), \)
con \(B\) intensità del campo magnetico lungo l’asse \(z\);
\(|m_l, m_s\rangle\): autostati dell’Hamiltoniana non perturbata, caratterizzati dai numeri quantici \(m_l\) (momento angolare orbitale) e \(m_s\) (spin).

Passo 1: Espressione dell’Elemento di Matrice

Per calcolare \(E_{m_l, m_s}^{(1)}\), sostituiamo \(\hat{H}'_{\text{Zeeman}}\) nell’espressione generale:

\( E_{m_l, m_s}^{(1)} = \langle m_l, m_s | \frac{eB}{2m} (\hat{L}_z + 2\hat{S}_z) | m_l, m_s \rangle. \)

Separiamo i contributi delle componenti \(\hat{L}_z\) e \(\hat{S}_z\):

\( E_{m_l, m_s}^{(1)} = \frac{eB}{2m} \langle m_l, m_s | \hat{L}_z | m_l, m_s \rangle + \frac{eB}{m} \langle m_l, m_s | \hat{S}_z | m_l, m_s \rangle. \)

Passo 2: Autovalori degli Operatori \(\hat{L}_z\) e \(\hat{S}_z\)

Gli autostati \(|m_l, m_s\rangle\) sono anche autostati di \(\hat{L}_z\) e \(\hat{S}_z\), con i seguenti autovalori:

\(\hat{L}_z |m_l, m_s\rangle = m_l \hbar |m_l, m_s\rangle\), dove \(m_l = -l, -l+1, \ldots, l\);
\(\hat{S}_z |m_l, m_s\rangle = m_s \hbar |m_l, m_s\rangle\), dove \(m_s = -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\).

Sostituendo questi autovalori nei termini dell’elemento di matrice, otteniamo:

\( E_{m_l, m_s}^{(1)} = \frac{eB}{2m} m_l \hbar + \frac{eB}{m} m_s \hbar. \)

Passo 3: Fattorizzazione e Forma Finale

Sommando i due contributi e raccogliendo i termini comuni, possiamo riscrivere \(E_{m_l, m_s}^{(1)}\) come:

\( E_{m_l, m_s}^{(1)} = \frac{eB}{2m} (m_l + 2m_s) \hbar. \)

Interpretazione Fisica

Questo risultato mostra che l’energia di uno stato quantistico \(|m_l, m_s\rangle\) dipende linearmente dai numeri quantici \(m_l\) e \(m_s\) e dall’intensità del campo magnetico \(B\). Lo splitting energetico è proporzionale a \(B\) ed è chiamato splitting Zeeman. Questo fenomeno è stato osservato sperimentalmente e fornisce un metodo per studiare le proprietà magnetiche e quantistiche degli atomi.

4. Interpretazione Fisica

Questo risultato mostra che i livelli energetici di un sistema dipendono linearmente da \(m_l\) e \(m_s\), producendo uno splitting proporzionale al campo magnetico \(B\). Questo è chiamato splitting Zeeman normale e si verifica, ad esempio, per atomi con un singolo elettrone in un orbitale.

In presenza di campi magnetici intensi o di particolari configurazioni atomiche, si può osservare lo splitting Zeeman anomalo, che tiene conto di ulteriori effetti di accoppiamento spin-orbita.

Esempio: Effetto Stark

L’effetto Stark descrive come un campo elettrico esterno \(\mathbf{E}\) interagisce con una particella dotata di carica \(e\), causando uno splitting (separazione) dei livelli energetici. L’Hamiltoniana di interazione è data da:

\( \hat{H}'_{\text{Stark}} = e \mathbf{E} \cdot \hat{\mathbf{r}}, \)

dove \(\hat{\mathbf{r}} = (x, y, z)\) è l’operatore posizione della particella, e \(\mathbf{E}\) è il campo elettrico esterno. Supponiamo un campo elettrico uniforme orientato lungo l’asse \(z\), cioè \(\mathbf{E} = E_z \hat{\mathbf{z}}\). In questo caso, l’Hamiltoniana si semplifica in:

\( \hat{H}'_{\text{Stark}} = eE_z \hat{z}. \)

1. Formula per la Correzione Energetica

La teoria delle perturbazioni al primo ordine fornisce la correzione energetica come:

\( E_{n,l,m}^{(1)} = \langle n, l, m | \hat{H}'_{\text{Stark}} | n, l, m \rangle, \)

dove \(|n, l, m\rangle\) sono gli autostati dell’Hamiltoniana non perturbata, caratterizzati da:

\(n\): numero quantico principale (energia);
\(l\): numero quantico orbitale (momento angolare);
\(m\): numero quantico magnetico (proiezione di \(l\) lungo l’asse \(z\)).

2. Espressione per l’Hamiltoniana in Termini di Coordinate

L’operatore posizione lungo \(z\) è dato da \(\hat{z} = r \cos\theta\), quindi l’elemento di matrice da calcolare diventa:

\( E_{n,l,m}^{(1)} = eE_z \int R_{nl}(r) Y_{lm}^*(\theta, \phi) r \cos\theta Y_{lm}(\theta, \phi) r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi. \)

Qui:

\(R_{nl}(r)\): la parte radiale della funzione d’onda;
\(Y_{lm}(\theta, \phi)\): le armoniche sferiche che descrivono la parte angolare della funzione d’onda.

3. Calcolo dell’Integrale Angolare

Nell’effetto Stark, l’Hamiltoniana di interazione è:

\( \hat{H}'_{\text{Stark}} = eE_z \hat{z}, \)

dove \(\hat{z} = r \cos\theta\). Per calcolare la correzione energetica al primo ordine, dobbiamo valutare l’elemento di matrice:

\( E_{n,l,m}^{(1)} = \langle n, l, m | \hat{H}'_{\text{Stark}} | n, l, m \rangle. \)

Sostituendo \(\hat{H}'_{\text{Stark}}\), otteniamo:

\( E_{n,l,m}^{(1)} = eE_z \int R_{nl}(r) Y_{lm}^*(\theta, \phi) r \cos\theta Y_{lm}(\theta, \phi) r^2 \, dr \, d\theta \, d\phi, \)

dove:

\(R_{nl}(r)\): la funzione radiale che dipende solo da \(r\);
\(Y_{lm}(\theta, \phi)\): le armoniche sferiche che descrivono la parte angolare della funzione d’onda.

Passo 1: Separazione delle Variabili

L’integrale totale può essere separato in una parte radiale e una parte angolare:

\( E_{n,l,m}^{(1)} = eE_z \left( \int_0^\infty R_{nl}(r) r^3 \, dr \right) \left( \int_0^{2\pi} \int_0^\pi Y_{lm}^*(\theta, \phi) \cos\theta Y_{lm}(\theta, \phi) \sin\theta \, d\theta \, d\phi \right). \)

La parte radiale dipende esclusivamente da \(R_{nl}(r)\), mentre la parte angolare coinvolge le armoniche sferiche \(Y_{lm}(\theta, \phi)\).

Passo 2: Proprietà delle Armoniche Sferiche

Le armoniche sferiche \(Y_{lm}(\theta, \phi)\) sono funzioni ortogonali che soddisfano la relazione:

\( \int_0^{2\pi} \int_0^\pi Y_{l'm'}^*(\theta, \phi) Y_{lm}(\theta, \phi) \sin\theta \, d\theta \, d\phi = \delta_{ll'} \delta_{mm'}, \)

dove \(\delta_{ll'}\) e \(\delta_{mm'}\) sono i delta di Kronecker, che valgono 1 solo se \(l = l'\) e \(m = m'\), e 0 altrimenti.

Passo 3: Espressione dell’Integrale Angolare

Consideriamo ora l’integrale angolare:

\( \int_0^{2\pi} \int_0^\pi Y_{lm}^*(\theta, \phi) \cos\theta Y_{lm}(\theta, \phi) \sin\theta \, d\theta \, d\phi. \)

Utilizziamo la relazione \(\cos\theta = \sqrt{\frac{4\pi}{3}} Y_{10}(\theta, \phi)\), che permette di esprimere \(\cos\theta\) come una combinazione di armoniche sferiche con \(l = 1, m = 0\). Substituendo questa relazione:

\( \int_0^{2\pi} \int_0^\pi Y_{lm}^*(\theta, \phi) \cos\theta Y_{lm}(\theta, \phi) \sin\theta \, d\theta \, d\phi = \sqrt{\frac{4\pi}{3}} \int_0^{2\pi} \int_0^\pi Y_{lm}^*(\theta, \phi) Y_{10}(\theta, \phi) Y_{lm}(\theta, \phi) \sin\theta \, d\theta \, d\phi. \)

Questo integrale è diverso da zero solo se le regole di selezione per \(l\) e \(m\) sono soddisfatte:

\(l\) deve cambiare di ±1 (\(l' = l \pm 1\));
\(m\) rimane invariato (\(m' = m\)).

Passo 4: Risultato e Simmetria

Per gli stati in cui le regole di selezione non sono soddisfatte, l’integrale angolare si annulla a causa della simmetria. Tuttavia, in stati degeneri o quando vi sono accoppiamenti con altri stati, l’integrale può essere diverso da zero, introducendo una correzione proporzionale a \(E_z\).

\( E_{n,l,m}^{(1)} \propto eE_z \sqrt{\frac{4\pi}{3}} \int_0^\infty R_{nl}(r) r^3 \, dr. \)

Interpretazione Fisica

Questo risultato mostra che l’interazione con il campo elettrico rompe la simmetria del sistema, causando uno splitting lineare di Stark. Questo fenomeno è osservabile nei livelli energetici di atomi e molecole in presenza di campi elettrici esterni.

4. Risultato per gli Stati Degeneri

Quando gli stati sono degeneri (ad esempio, nei livelli \(l\) di un atomo idrogenoide), l’interazione con il campo elettrico rompe la degenerazione. La separazione dei livelli energetici dipende da:

\( E_{n,l,m}^{(1)} \propto m \cdot E_z, \)

dove \(m\) è il numero quantico magnetico. Questo è chiamato splitting lineare di Stark, osservato sperimentalmente in molti atomi e molecole.

5. Interpretazione Fisica

L’effetto Stark lineare descrive come il campo elettrico esterno rompe la simmetria del sistema, modificando i livelli energetici in modo proporzionale all’intensità del campo \(E_z\). Questo fenomeno è sfruttato in spettroscopia atomica per studiare la struttura elettronica degli atomi e delle molecole.

Esempio: Termine di Perturbazione Generale

Consideriamo un’Hamiltoniana totale composta da una parte di base \(\hat{H}_0\), con soluzioni note, e una perturbazione \(\hat{H}'\):

\( \hat{H} = \hat{H}_0 + \lambda \hat{H}', \)

dove:

\(\hat{H}_0\): Hamiltoniana di base, con autovalori \(E_n^{(0)}\) e autostati \(\psi_n^{(0)}\);
\(\hat{H}'\): termine di perturbazione, rappresenta effetti aggiuntivi come campi esterni o correzioni relativistiche;
\(\lambda\): parametro che misura l’intensità della perturbazione (\(\lambda \ll 1\)).

L’obiettivo è calcolare come \(E_n\) e \(\psi_n\) si modificano a causa di \(\hat{H}'\).

1. Correzione al Primo Ordine

La correzione energetica al primo ordine è data da:

\( E_n^{(1)} = \langle \psi_n^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle. \)

Questo rappresenta il valore medio di \(\hat{H}'\) nello stato non perturbato \(|\psi_n^{(0)}\rangle\). Calcoliamo ora un esempio pratico:

Calcolo Dettagliato

Supponiamo che \(\hat{H}' = eE_z \hat{z}\), dove il campo elettrico esterno è orientato lungo l’asse \(z\). L’elemento di matrice diventa:

\( E_n^{(1)} = eE_z \langle \psi_n^{(0)} | \hat{z} | \psi_n^{(0)} \rangle. \)

Poiché \(\hat{z} = r \cos\theta\), possiamo scrivere:

\( E_n^{(1)} = eE_z \int R_{nl}(r) Y_{lm}^*(\theta, \phi) r \cos\theta Y_{lm}(\theta, \phi) r^2 \, dr \, d\theta \, d\phi. \)

La simmetria delle armoniche sferiche spesso annulla l’integrale angolare, ma per stati degeneri o accoppiati può emergere uno splitting lineare in \(E_z\).

2. Correzione al Secondo Ordine

La teoria delle perturbazioni al secondo ordine tiene conto degli accoppiamenti tra lo stato di interesse \(|\psi_n^{(0)}\rangle\) e tutti gli altri stati \(|\psi_m^{(0)}\rangle\) (\(m \neq n\)). La correzione energetica è data da:

\( E_n^{(2)} = \sum_{m \neq n} \frac{|\langle \psi_m^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle|^2}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}}. \)

Dove:

\(|\langle \psi_m^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle|^2\): rappresenta l’intensità dell’accoppiamento indotto da \(\hat{H}'\);
\(E_n^{(0)} - E_m^{(0)}\): è la differenza di energia tra lo stato di interesse \(|\psi_n^{(0)}\rangle\) e lo stato \(|\psi_m^{(0)}\rangle\).

Questa correzione rappresenta gli effetti indiretti della perturbazione sugli stati del sistema.

Passaggi Matematici

Per calcolare \(E_n^{(2)}\), consideriamo un sistema con due stati \(|n\rangle\) e \(|m\rangle\), con \(\hat{H}' = eE_z \hat{z}\). L’elemento di matrice è:

\( \langle \psi_m^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle = eE_z \int R_{nl}(r) Y_{lm}^*(\theta, \phi) r \cos\theta Y_{ln}(\theta, \phi) r^2 \, dr \, d\theta \, d\phi. \)

La parte radiale e la parte angolare possono essere calcolate separatamente. Per molti stati, l’integrale angolare si annulla a causa della simmetria, lasciando contributi non nulli solo per particolari accoppiamenti tra stati degeneri.

3. Correzioni a Ordini Superiori

Per ordini superiori (\(\lambda^3, \lambda^4, \ldots\)), le correzioni diventano più complesse. In generale, includono:

Contributi derivanti da accoppiamenti multipli tra stati;
Termini che coinvolgono prodotti di più elementi di matrice di \(\hat{H}'\);
Fattori di somma su più stati intermedi.

Sebbene difficili da calcolare manualmente, questi contributi possono essere approssimati usando metodi computazionali o tecniche perturbative avanzate.

Effetto Combinato

Sommando le correzioni fino al secondo ordine, l’energia corretta dello stato \(|n\rangle\) è approssimativamente:

\( E_n \approx E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)}. \)

Le correzioni a ordini superiori (\(\lambda^3\) e oltre) diventano rilevanti solo per perturbazioni forti o accoppiamenti intensi.

Interpretazione Fisica

La teoria delle perturbazioni permette di studiare come una piccola modifica a \(\hat{H}_0\) influisce su livelli energetici ed autostati. È fondamentale per spiegare:

Lamb Shift: correzioni relativistiche dovute al vuoto quantistico elettromagnetico;
Effetto Stark: splitting energetico in campi elettrici esterni;
Effetto Zeeman: splitting in campi magnetici esterni.

Questo approccio è ampiamente utilizzato in fisica atomica, molecolare e della materia condensata.

Guida per Rispondere: Correzioni Hamiltoniane

1. Introduzione e Definizione
- Inizia definendo l’Hamiltoniana come l’operatore che descrive l’energia totale del sistema quantistico: \[ \hat{H} = \hat{H}_0 + \lambda \hat{H}', \] dove:

\(\hat{H}_0\): Hamiltoniana di base, con soluzioni note (\(E_n^{(0)}, \psi_n^{(0)}\));
\(\hat{H}'\): termine perturbativo (correzione aggiuntiva);
\(\lambda\): parametro di controllo dell’entità della perturbazione (\(\lambda \ll 1\)).

- Spiega che le correzioni derivano da effetti esterni (campi elettrici, magnetici) o correzioni relativistiche (spin-orbita, Darwin, ecc.).

2. Correzione al Primo Ordine
- Scrivi la formula per la correzione energetica al primo ordine: \[ E_n^{(1)} = \langle \psi_n^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle. \] - Spiega che rappresenta il valore medio di \(\hat{H}'\) nello stato non perturbato \(|\psi_n^{(0)}\rangle\).
- Fornisci un esempio pratico:
Se \(\hat{H}' = eE_z \hat{z}\) (campo elettrico esterno lungo \(z\)): \[ E_n^{(1)} = eE_z \langle \psi_n^{(0)} | \hat{z} | \psi_n^{(0)} \rangle. \] - Scrivi il calcolo dell’elemento di matrice: \[ E_n^{(1)} = eE_z \int R_{nl}(r) Y_{lm}^*(\theta, \phi) r \cos\theta Y_{lm}(\theta, \phi) r^2 \, dr \, d\theta \, d\phi. \] - Spiega che, a causa della simmetria, molti integrali angolari si annullano, ma per stati degeneri può emergere uno splitting.

3. Correzione al Secondo Ordine
- Scrivi la formula per la correzione energetica al secondo ordine: \[ E_n^{(2)} = \sum_{m \neq n} \frac{|\langle \psi_m^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle|^2}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}}. \] - Spiega che rappresenta il contributo indiretto della perturbazione attraverso l’accoppiamento con altri stati \(|\psi_m^{(0)}\rangle\).
- Fornisci un esempio:
Se \(\hat{H}' = eE_z \hat{z}\), il termine \(|\langle \psi_m^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle|^2\) è calcolato come: \[ |\langle \psi_m^{(0)} | eE_z \hat{z} | \psi_n^{(0)} \rangle|^2 = (eE_z)^2 \left| \int R_{nl}(r) r^3 \, dr \right|^2 \cdot \left| \int Y_{lm}^*(\theta, \phi) \cos\theta Y_{ln}(\theta, \phi) \, d\theta \, d\phi \right|^2. \] - Spiega che l’elemento radiale e angolare possono essere calcolati separatamente, e che il denominatore \((E_n^{(0)} - E_m^{(0)})\) rappresenta la differenza di energia tra i due stati.

4. Effetto Combinato
- Mostra che l’energia totale corretta include i contributi fino al secondo ordine: \[ E_n = E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)}. \] - Spiega che, per perturbazioni più forti, è necessario considerare anche ordini superiori (\(\lambda^3, \lambda^4, \ldots\)).

5. Applicazioni e Interpretazione Fisica
- Fornisci esempi concreti di fenomeni spiegati dalla teoria delle perturbazioni:

Lamb Shift: spostamento dei livelli energetici dovuto alle fluttuazioni del vuoto quantistico.
Effetto Stark: splitting energetico in campi elettrici esterni.
Effetto Zeeman: splitting in campi magnetici esterni.

- Spiega che la teoria delle perturbazioni è una tecnica universale in fisica atomica, molecolare e della materia condensata.

6. Conclusione
- Riassumi dicendo che la teoria delle perturbazioni fornisce una struttura matematica potente per calcolare correzioni a energie e stati quantistici, spiegando fenomeni complessi osservati sperimentalmente.

Approfondimento: Calcoli per Ordini Superiori

1. Energia al Primo Ordine
La correzione energetica al primo ordine è calcolata come: \[ E_n^{(1)} = \langle \psi_n^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle. \] Passaggi:

Determina \(\hat{H}'\), il termine perturbativo.
Trova \(|\psi_n^{(0)}\rangle\), l’autostato non perturbato dell’Hamiltoniana di base.
Calcola l’elemento di matrice \(\langle \psi_n^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle\).
Separa la parte radiale e angolare per sistemi in coordinate sferiche: \[ \langle \psi_n^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle = \int R_{nl}(r) r^3 \, dr \cdot \int Y_{lm}^*(\theta, \phi) \cos\theta Y_{lm}(\theta, \phi) \, d\theta \, d\phi. \]
Integra rispettando le proprietà di ortogonalità (spesso gli integrali angolari si annullano per simmetria).

2. Energia al Secondo Ordine
La correzione al secondo ordine è: \[ E_n^{(2)} = \sum_{m \neq n} \frac{|\langle \psi_m^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle|^2}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}}. \] Passaggi:

Calcola gli elementi di matrice tra lo stato perturbato \(|\psi_n^{(0)}\rangle\) e tutti gli altri stati \(|\psi_m^{(0)}\rangle\): \[ \langle \psi_m^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle. \]
Valuta separatamente la parte radiale e quella angolare (se in coordinate sferiche): \[ |\langle \psi_m^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle|^2 = \left| \int R_{ml}(r) r^3 \, dr \cdot \int Y_{lm}^*(\theta, \phi) \cos\theta Y_{ln}(\theta, \phi) \, d\theta \, d\phi \right|^2. \]
Calcola il denominatore \(E_n^{(0)} - E_m^{(0)}\), che rappresenta la differenza di energia tra gli stati non perturbati.
Somma tutti i contributi per \(m \neq n\) usando la formula sopra.

3. Energia a Ordini Superiori
Le correzioni agli ordini superiori (\(n \geq 3\)) includono termini sempre più complessi. Ad esempio, al terzo ordine: \[ E_n^{(3)} = \sum_{m \neq n} \sum_{k \neq n, k \neq m} \frac{\langle \psi_n^{(0)} | \hat{H}' | \psi_m^{(0)} \rangle \langle \psi_m^{(0)} | \hat{H}' | \psi_k^{(0)} \rangle \langle \psi_k^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle}{(E_n^{(0)} - E_m^{(0)})(E_n^{(0)} - E_k^{(0)})}. \] Passaggi:

Calcola tutti gli elementi di matrice del tipo \(\langle \psi_i^{(0)} | \hat{H}' | \psi_j^{(0)} \rangle\).
Identifica gli stati intermedi \(|\psi_k^{(0)}\) e \(|\psi_m^{(0)}\), che accoppiano lo stato iniziale e finale.
Somma su tutti gli stati intermedi validi, rispettando le condizioni di ortogonalità e simmetria.
Includi i denominatori \((E_n^{(0)} - E_m^{(0)})\) e \((E_n^{(0)} - E_k^{(0)})\).

4. Suggerimenti per l’Orale
Se il professore chiede calcoli agli ordini superiori:

Inizia descrivendo i contributi al primo e secondo ordine (formula e significato).
Mostra come si calcolano gli elementi di matrice \(\langle \psi_m^{(0)} | \hat{H}' | \psi_n^{(0)} \rangle\) separando parte radiale e angolare.
Per ordini superiori, evidenzia che i contributi coinvolgono stati intermedi multipli, richiedendo somma su più stati accoppiati.
Ricorda di sottolineare l’uso della simmetria per semplificare gli integrali, evitando calcoli inutilmente complessi.

Esempio Breve:
Considera \(\hat{H}' = eE_z \hat{z}\) e scrivi: \[ E_n^{(1)} = eE_z \langle \psi_n^{(0)} | \hat{z} | \psi_n^{(0)} \rangle, \] \[ E_n^{(2)} = \sum_{m \neq n} \frac{|\langle \psi_m^{(0)} | eE_z \hat{z} | \psi_n^{(0)} \rangle|^2}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}}. \] Dimostra che per stati degeneri l’integrale angolare non si annulla e causa uno splitting proporzionale a \(E_z^2\).

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