Correzioni al Primo Ordine

Le correzioni al primo ordine nella struttura fine dell'atomo di idrogeno derivano dall'applicazione della teoria delle perturbazioni indipendente dal tempo. Consideriamo un sistema quantistico descritto da un Hamiltoniano non perturbato \(H_0\) e una piccola perturbazione \(H'\), tale che l'Hamiltoniano totale sia:

\( H = H_0 + H' \)

Gli autovalori \(E_n^{(1)}\) delle energie corrette al primo ordine sono dati dalla media dell'operatore perturbativo \(H'\) calcolata rispetto agli stati non perturbati \(\psi_n^{(0)}\):

\( E_n^{(1)} = \langle \psi_n^{(0)} | H' | \psi_n^{(0)} \rangle \)

Questo risultato implica che la correzione dipende esclusivamente dall'interazione introdotta da \(H'\) e dalla natura degli stati base \(\psi_n^{(0)}\).

Nel contesto dell’atomo di idrogeno, \(H'\) rappresenta tipicamente gli effetti relativistici. Una delle correzioni più significative deriva dal termine di spin-orbita, il cui contributo energetico può essere espresso come:

\( H'_\text{spin-orbita} = \frac{1}{2m_e^2c^2} \frac{1}{r} \frac{dV}{dr} \mathbf{L} \cdot \mathbf{S} \)

Dove:

\(m_e\): massa dell'elettrone
\(c\): velocità della luce
\(V(r)\): potenziale coulombiano
\(\mathbf{L}\): momento angolare orbitale
\(\mathbf{S}\): spin dell'elettrone

La correzione dovuta all’effetto spin-orbita è proporzionale al prodotto scalare \(\mathbf{L} \cdot \mathbf{S}\), che quantifica l'accoppiamento tra il momento angolare orbitale e lo spin.

Un'altra correzione al primo ordine deriva dal termine relativistico di Darwin, che considera gli effetti quantistici associati alla fluttuazione della posizione dell'elettrone. Il termine di correzione energetica può essere scritto come:

\( H'_\text{Darwin} = \frac{\hbar^2}{8m_e^2c^2} \nabla^2 V(r) \)

Questi termini, combinati, descrivono le deviazioni dai livelli energetici previsti dal modello di Bohr per l’atomo di idrogeno, fornendo una spiegazione accurata della struttura fine osservata negli spettri atomici.

Correzioni Spin-Orbita: Dettagli Matematici

L'energia di correzione dovuta all'accoppiamento spin-orbita può essere calcolata considerando la dipendenza dal prodotto scalare \(\mathbf{L} \cdot \mathbf{S}\). Poiché \(\mathbf{L} \cdot \mathbf{S}\) è espresso in termini del momento angolare totale \(\mathbf{J}\), si ha:

\( \mathbf{L} \cdot \mathbf{S} = \frac{\hbar^2}{2} \left[ j(j+1) - l(l+1) - s(s+1) \right] \)

Qui:

\(j\): numero quantico del momento angolare totale (\(j = l \pm s\))
\(l\): numero quantico del momento angolare orbitale
\(s\): numero quantico dello spin (per l'elettrone, \(s = \frac{1}{2}\))

Inserendo questo risultato nell'Hamiltoniano perturbato, possiamo determinare la correzione energetica per ciascun livello quantico:

\( E_\text{spin-orbita} = \frac{\langle \mathbf{L} \cdot \mathbf{S} \rangle}{2m_e^2c^2} \frac{1}{r} \frac{dV}{dr} \)

Termine di Darwin: Approfondimento

Il termine di Darwin rappresenta una correzione al potenziale coulombiano classico dovuta alla distribuzione spaziale dell'elettrone quantistico. La sua energia di correzione è proporzionale alla divergenza del gradiente del potenziale:

\( E_\text{Darwin} = \frac{\hbar^2}{8m_e^2c^2} \nabla^2 V(r) \)

Per un potenziale coulombiano \(V(r) = -\frac{Ze^2}{r}\), il laplaciano è dato da:

\( \nabla^2 V(r) = -\frac{4\pi Ze^2}{r^3} \)

Inserendo questo risultato, otteniamo la correzione al primo ordine per i livelli energetici sfericamente simmetrici (\(l = 0\)):

\( E_\text{Darwin} = -\frac{\hbar^2 Z e^2}{2m_e^2c^2 r^3} \)

Contributo Totale alla Struttura Fine

La combinazione dei termini spin-orbita e Darwin, insieme ad altri effetti relativistici, contribuisce a un'evidente separazione dei livelli energetici negli spettri atomici. La correzione totale per ciascun livello quantico si può scrivere come:

\( E_\text{totale} = E_\text{spin-orbita} + E_\text{Darwin} \)

Questi termini spiegano la struttura fine osservata per i livelli \(n\) e \(l\) dell'atomo di idrogeno, confermando la necessità di una trattazione relativistica per una descrizione accurata.

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