Correzioni al I ordine per gli stati

Il formalismo delle perturbazioni stazionarie permette di calcolare gli effetti di un termine perturbativo sull’energia e sugli stati di un sistema quantistico. In questa pagina, ci concentriamo sulle correzioni al primo ordine per gli stati, considerando un sistema con hamiltoniana non degenere.

Espansione dell’autofunzione perturbata

Consideriamo l’hamiltoniana perturbata:

\[ H = H_0 + \lambda V \]

Qui \( H_0 \) rappresenta l’hamiltoniana non perturbata, \( V \) il termine perturbativo e \( \lambda \) è un parametro piccolo che controlla l’intensità della perturbazione. Gli stati corretti al primo ordine sono sviluppati come:

\[ \ket{\psi_n} = \ket{\psi_n^{(0)}} + \lambda \ket{\psi_n^{(1)}} + \mathcal{O}(\lambda^2) \]

La funzione perturbata al primo ordine, \( \ket{\psi_n^{(1)}} \), viene calcolata imponendo l’ortogonalità tra la correzione e lo stato non perturbato:

\[ \bra{\psi_n^{(0)}} \psi_n^{(1)} \rangle = 0 \]

Correzione al primo ordine per gli stati

Espandendo l’equazione agli autovalori \( H \ket{\psi_n} = E_n \ket{\psi_n} \) al primo ordine, otteniamo un’equazione per \( \ket{\psi_n^{(1)}} \):

\[ (H_0 - E_n^{(0)}) \ket{\psi_n^{(1)}} = - (V - \Delta E_n) \ket{\psi_n^{(0)}} \]

Moltiplicando scalarmene da sinistra per \( \bra{\psi_m^{(0)}} \), dove \( m \neq n \), otteniamo le componenti della correzione:

\[ \braket{\psi_m^{(0)}}{\psi_n^{(1)}} = \frac{\bra{\psi_m^{(0)}} V \ket{\psi_n^{(0)}}}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}}, \quad m \neq n \]

Il denominatore rappresenta la differenza di energia tra lo stato base \( \ket{\psi_n^{(0)}} \) e lo stato \( \ket{\psi_m^{(0)}} \), mentre il numeratore è l’elemento di matrice del termine perturbativo tra i due stati.

Forma finale dello stato corretto

Combinando i contributi al primo ordine, lo stato corretto è dato da:

\[ \ket{\psi_n} \approx \ket{\psi_n^{(0)}} + \sum_{m \neq n} \frac{\bra{\psi_m^{(0)}} V \ket{\psi_n^{(0)}}}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} \ket{\psi_m^{(0)}} \]

Questo risultato mostra come lo stato perturbato sia una combinazione lineare dello stato iniziale e di contributi dagli altri stati della base non perturbata, modulati dall’intensità del termine perturbativo.

Osservazioni

Le correzioni al primo ordine per gli stati sono cruciali per prevedere come un sistema quantistico reagisce a una perturbazione. Questa metodologia trova applicazione in una vasta gamma di sistemi, dai livelli energetici atomici agli stati quantistici nei semiconduttori.

Interpretazione fisica delle correzioni

Le correzioni agli stati descrivono come l'hamiltoniana perturbata modifica le proprietà fisiche del sistema, spostando gli stati iniziali non perturbati verso nuove configurazioni. Questo implica che:

Il termine \( \bra{\psi_m^{(0)}} V \ket{\psi_n^{(0)}} \) rappresenta il "peso" del contributo dello stato \( \ket{\psi_m^{(0)}} \) sullo stato corretto \( \ket{\psi_n} \).
La differenza \( E_n^{(0)} - E_m^{(0)} \) nel denominatore agisce da fattore di smorzamento: stati energeticamente vicini contribuiscono di più, mentre stati lontani contribuiscono meno.

In sistemi fisici come gli atomi, questa struttura matematica si traduce, ad esempio, in modifiche alla probabilità di transizione o alla densità di carica elettronica.

Condizioni di validità

Il metodo delle perturbazioni stazionarie al primo ordine è valido quando:

La perturbazione \( \lambda V \) è sufficientemente piccola rispetto all’energia caratteristica del sistema \( H_0 \).
I livelli energetici non perturbati \( E_n^{(0)} \) e \( E_m^{(0)} \) non sono degeneri, ovvero \( E_n^{(0)} \neq E_m^{(0)} \) per ogni \( m \neq n \).

Quando queste condizioni non sono soddisfatte, il metodo deve essere modificato o esteso, ad esempio tramite il formalismo per il caso degenere.

Esempio applicativo

Consideriamo un sistema a due livelli con un’hamiltoniana perturbata del tipo:

\[ H = \begin{pmatrix} E_1^{(0)} & V_{12} \\ V_{21} & E_2^{(0)} \end{pmatrix} \]

Calcolando al primo ordine, lo stato corretto del primo livello sarà:

\[ \ket{\psi_1} \approx \ket{\psi_1^{(0)}} + \frac{V_{21}}{E_1^{(0)} - E_2^{(0)}} \ket{\psi_2^{(0)}} \]

Qui, \( V_{21} \) rappresenta l’elemento di matrice che "mescola" i due stati, mentre il denominatore descrive la separazione energetica tra i livelli. Questo risultato mostra come lo stato perturbato sia una sovrapposizione dello stato iniziale e di contributi dallo stato adiacente.

Connessione con osservabili

Una volta corretto lo stato al primo ordine, è possibile calcolare le osservabili modificate. Ad esempio, la probabilità di trovare il sistema in uno stato \( \ket{\psi_m^{(0)}} \), data da:

\[ P_m = \left| \braket{\psi_m^{(0)}}{\psi_n} \right|^2 \]

Questo valore sarà influenzato dal termine perturbativo, riflettendo l’effetto del mescolamento tra stati.

Considerazioni finali

Le correzioni al primo ordine per gli stati sono essenziali per prevedere i cambiamenti negli stati quantistici indotti da perturbazioni. La comprensione di questi sviluppi è fondamentale in numerose applicazioni fisiche, come l’interazione atomo-campo e lo studio dei materiali quantistici.

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