Degenerazione e Osservabili Compatibili

Degenerazione degli stati quantistici

Uno stato quantistico è degenere se esistono più autovettori linearmente indipendenti che corrispondono allo stesso autovalore di un'osservabile. Formalmente, un'osservabile \(\hat{A}\) ha degenerazione \(g > 1\) se:

\[ \hat{A} \psi_i = a \psi_i \quad \text{per } i = 1, 2, \ldots, g \]

dove \(a\) è l'autovalore associato e \(\psi_i\) sono gli autovettori corrispondenti.

Osservabili compatibili

Due osservabili \(\hat{A}\) e \(\hat{B}\) si dicono compatibili se possono essere misurate simultaneamente con precisione arbitraria. Questa condizione è soddisfatta quando i loro operatori commutano:

\[ [\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A} = 0 \]

Se questa condizione è soddisfatta, esiste una base di autovettori comuni agli operatori \(\hat{A}\) e \(\hat{B}\).

Relazioni di indeterminazione

Quando due osservabili non commutano, esiste una relazione di indeterminazione che lega le loro misure. Per due osservabili \(\hat{A}\) e \(\hat{B}\), la relazione è:

\[ \Delta A \Delta B \geq \frac{1}{2} |\langle [\hat{A}, \hat{B}] \rangle| \]

dove \(\Delta A\) e \(\Delta B\) rappresentano le deviazioni standard delle misure di \(A\) e \(B\).

Esempi significativi

Posizione e momento: La relazione di indeterminazione di Heisenberg è un caso specifico:
\[ \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
Energia e tempo: Anche se il tempo non è un'osservabile, esiste una relazione analoga:
\[ \Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2} \]

Ruolo della degenerazione nella fisica

La degenerazione è cruciale per spiegare molti fenomeni fisici, come la struttura fine degli spettri atomici o il principio di esclusione di Pauli. Ad esempio, in sistemi atomici complessi, la degenerazione può essere parzialmente rimossa dall'introduzione di interazioni come il termine spin-orbita. Ritorna all'Indice