Densità e Corrente di Probabilità
Definizione
La densità e la corrente di probabilità sono concetti fondamentali per descrivere la conservazione della probabilità nella meccanica quantistica. Sono strettamente legate alla funzione d'onda \(\psi(\vec{r}, t)\) e soddisfano l'equazione di continuità.
Densità di probabilità
La densità di probabilità \(\rho(\vec{r}, t)\) rappresenta la probabilità di trovare la particella in un volume infinitesimo attorno al punto \(\vec{r}\) al tempo \(t\). È definita come:
\[
\rho(\vec{r}, t) = |\psi(\vec{r}, t)|^2
\]
Corrente di probabilità
La corrente di probabilità \(\vec{j}(\vec{r}, t)\) descrive il flusso di probabilità attraverso una superficie unitaria. È data da:
\[
\vec{j}(\vec{r}, t) = \frac{\hbar}{2mi} \left( \psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^* \right)
\]
dove:
- \( \hbar \): Costante di Planck ridotta
- \( m \): Massa della particella
- \( \psi \): Funzione d'onda
- \( \psi^* \): Complesso coniugato della funzione d'onda
Equazione di continuità
La conservazione della probabilità è garantita dall'equazione di continuità:
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{j} = 0
\]
Questa equazione esprime il fatto che una variazione temporale della densità di probabilità in un volume è bilanciata dal flusso di probabilità attraverso la superficie del volume.
Interpretazione fisica
La densità di probabilità e la corrente di probabilità forniscono un quadro completo della probabilità di localizzazione e del "movimento probabilistico" della particella. Questi concetti sono essenziali per comprendere la dinamica quantistica e garantire la coerenza delle previsioni probabilistiche.
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