Effetti Relativistici

Gli effetti relativistici nell'atomo di idrogeno emergono dal confronto tra l'energia totale di un elettrone relativistico e quella classica non relativistica. In particolare, consideriamo l'elettrone che orbita intorno al nucleo e la correzione relativistica all'energia totale \( E \).

La relazione relativistica tra energia e momento è:

\( E = \sqrt{(pc)^2 + (m_ec^2)^2} \)

Espandendo in serie di Taylor per piccole velocità (\( v \ll c \)), otteniamo:

\( E \approx m_ec^2 + \frac{p^2}{2m_e} - \frac{p^4}{8m_e^3c^2} \)

Il termine aggiuntivo \( -\frac{p^4}{8m_e^3c^2} \) rappresenta la correzione relativistica. Nel contesto dell'atomo di idrogeno, il valore medio del quadrato del momento può essere espresso usando:

\( \langle p^2 \rangle = \langle -\hbar^2 \nabla^2 \rangle \),

da cui, tramite il calcolo degli autostati del momento angolare, possiamo determinare l'effetto dell'energia relativistica sugli stati quantici dell'atomo.

Correzioni alla Formula di Schrödinger

Consideriamo la forma espansa dell'energia relativistica in termini del numero quantico principale \( n \):

\( \Delta E_{\text{rel}} = -\frac{(Z\alpha)^2}{2n^4} \frac{m_ec^2}{1 - \delta} \),

dove \( \alpha \) è la costante di struttura fine e \( Z \) è il numero atomico. La correzione relativistica introduce uno splitting dell'energia negli stati con stesso \( n \), ma diverso momento angolare orbitale \( l \).

Effetto della Struttura Fine

L'effetto complessivo degli effetti relativistici contribuisce alla cosiddetta struttura fine dell'atomo di idrogeno, che include:

Questo porta a una struttura energetica più complessa, con splitting tra stati che altrimenti sarebbero degeneri nel modello di Schrödinger non relativistico.

Espansione in Serie di Taylor

L'energia relativistica totale di una particella è data da:

\( E = \sqrt{(pc)^2 + (m_e c^2)^2} \),

dove \( p \) è il momento della particella, \( m_e \) è la massa dell'elettrone e \( c \) è la velocità della luce. Per velocità molto inferiori a \( c \) (\( v \ll c \)), espandiamo la radice in serie di Taylor intorno a \( p = 0 \). Iniziamo estraendo \( m_e c^2 \) come termine comune:

\( E = m_e c^2 \sqrt{1 + \frac{p^2}{m_e^2 c^2}} \).

Sviluppando la radice con la serie di Taylor per \( x \ll 1 \) (\( \sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \dots \)), otteniamo:

\( E \approx m_e c^2 \left( 1 + \frac{p^2}{2m_e^2 c^2} - \frac{p^4}{8m_e^4 c^4} + \dots \right) \).

Moltiplicando i termini, possiamo scrivere:

\( E \approx m_e c^2 + \frac{p^2}{2m_e} - \frac{p^4}{8m_e^3 c^2} + \dots \).

I primi due termini rappresentano rispettivamente l'energia a riposo \( m_e c^2 \) e l'energia cinetica classica \( \frac{p^2}{2m_e} \). Il terzo termine \( -\frac{p^4}{8m_e^3 c^2} \) è una correzione relativistica, la quale diventa significativa per elettroni ad alta energia.

Applicazione agli Stati dell'Atomo di Idrogeno

Nell'atomo di idrogeno, il valore medio di \( \langle p^2 \rangle \) può essere calcolato usando le proprietà degli autostati della funzione d'onda dell'elettrone. L'espressione generale è:

\( \langle p^2 \rangle = \langle -\hbar^2 \nabla^2 \rangle \).

Nei livelli energetici quantizzati, questa quantità dipende dal numero quantico principale \( n \) e dal momento angolare orbitale \( l \). La correzione relativistica all'energia del livello è quindi proporzionale a \( \langle p^4 \rangle \), che può essere espresso in funzione di \( \langle p^2 \rangle \).

Interpretazione Fisica delle Correzioni

La correzione relativistica introduce uno splitting energetico tra stati con stesso numero quantico principale \( n \), ma diverso momento angolare \( l \). Questo fenomeno è parte integrante della struttura fine, che emerge quando si considerano gli effetti relativistici e quelli di accoppiamento spin-orbita.

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