Emissione e Assorbimento Risonante

L'emissione e l'assorbimento risonante sono fenomeni che si verificano quando un sistema quantistico, come un atomo o una molecola, interagisce con un campo elettromagnetico con frequenza compatibile con una transizione tra due livelli energetici del sistema. Questo tipo di interazione è alla base di molti processi fisici, tra cui l'assorbimento della luce, la fluorescenza e l'emissione stimolata.

Descrizione Matematica

Consideriamo un sistema con due stati energetici \( |1\rangle \) e \( |2\rangle \), associati alle energie \( E_1 \) ed \( E_2 \). L'interazione tra il sistema e un campo elettromagnetico oscillante può essere descritta da un termine perturbativo del tipo:

\( H'(t) = \mu \cos(\omega t) \)

dove \( \mu \) rappresenta il momento di dipolo elettrico e \( \omega \) è la frequenza del campo. L'equazione di Schrödinger perturbata consente di determinare la probabilità di transizione tra i due stati:

\( P_{1 \to 2}(t) = \frac{\mu^2}{\hbar^2} \frac{\sin^2((\omega - \omega_0)t/2)}{(\omega - \omega_0)^2} \)

dove \( \omega_0 = \frac{E_2 - E_1}{\hbar} \) è la frequenza di risonanza. L'assorbimento è massimo quando la frequenza del campo è in risonanza con \( \omega_0 \), mentre la larghezza della risonanza dipende dal tempo di interazione e dai meccanismi di smorzamento del sistema.

Emissione Stimolata e Assorbimento

In regime di risonanza, l'interazione del campo elettromagnetico con il sistema può portare a due processi principali:

Assorbimento: Il sistema assorbe un fotone del campo e si eccita passando dallo stato \( |1\rangle \) a \( |2\rangle \).
Emissione Stimolata: Un fotone del campo stimola la transizione inversa \( |2\rangle \to |1\rangle \), emettendo un secondo fotone coerente con il primo.

Applicazioni

Questi fenomeni sono fondamentali in vari campi della fisica e della tecnologia:

La spettroscopia ottica sfrutta l'assorbimento risonante per determinare la struttura energetica di atomi e molecole.
I laser operano grazie al processo di emissione stimolata, generando luce coerente di alta intensità.
La fluorescenza e la fosforescenza in chimica e biologia sono esempi di emissione risonante utilizzata per l'analisi di materiali e tessuti.

Dettagli Matematici e Fisici

L'equazione per la probabilità di transizione, \( P_{1 \to 2}(t) = \frac{\mu^2}{\hbar^2} \frac{\sin^2((\omega - \omega_0)t/2)}{(\omega - \omega_0)^2} \), rivela il comportamento della transizione in funzione della frequenza \( \omega \) del campo elettromagnetico e del tempo \( t \).

Quando \( \omega = \omega_0 \), la probabilità di transizione assume un valore massimo, noto come risonanza. In questo caso, la funzione seno si avvicina a \( \sin^2((\omega_0 - \omega_0)t/2) = \sin^2(0) \), mentre il denominatore non contribuisce ad alcun smorzamento. Ciò porta al massimo assorbimento o emissione risonante:

\( P_{1 \to 2}(t) \big|_{\omega = \omega_0} = \frac{\mu^2 t^2}{4 \hbar^2} \)

Questo risultato mostra che, in assenza di smorzamento, la probabilità di transizione cresce quadraticamente nel tempo, evidenziando l'importanza della coerenza e della durata dell'interazione. Tuttavia, nella realtà, processi di smorzamento e fenomeni dissipativi limitano la crescita illimitata della probabilità.

Effetto dello Smorzamento

Consideriamo un termine di smorzamento \( \gamma \), che rappresenta la perdita di coerenza nel sistema. L'inclusione di \( \gamma \) modifica la probabilità di transizione in:

\( P_{1 \to 2}(t) = \frac{\mu^2}{\hbar^2} \frac{\sin^2((\omega - \omega_0)t/2)}{((\omega - \omega_0)^2 + \gamma^2)} \)

Il termine \( \gamma \) allarga il picco di risonanza, rendendo la transizione meno sensibile alla precisione della frequenza del campo elettromagnetico. Questo effetto è comunemente osservato nella spettroscopia come "larghezza della linea" e fornisce informazioni sulla dinamica interna del sistema.

Condizione di Einstein per Emissione e Assorbimento

I coefficienti di Einstein \( A_{21} \) e \( B_{12} \) descrivono quantitativamente l'emissione spontanea, l'assorbimento e l'emissione stimolata. In equilibrio termodinamico, la relazione tra questi coefficienti è:

\( \frac{B_{12}}{A_{21}} = \frac{8 \pi \nu^3}{c^3} \)

dove \( \nu \) è la frequenza della transizione e \( c \) è la velocità della luce. Questa relazione stabilisce il legame tra i processi di emissione stimolata, emissione spontanea e assorbimento in un sistema quantistico.

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