L’equazione di continuità è la relazione fondamentale che esprime la conservazione della probabilità nella meccanica quantistica. Deriva direttamente dall’equazione di Schrödinger e serve a mostrare che, se l’operatore Hamiltoniano è hermitiano, la norma totale della funzione d’onda si conserva nel tempo. Essa mette in relazione la variazione temporale della densità di probabilità con la divergenza della corrente di probabilità.
Data una funzione d’onda \(\psi(\mathbf{r}, t)\), la densità di probabilità è:
\[ \rho(\mathbf{r}, t) = |\psi(\mathbf{r}, t)|^2 = \psi^*(\mathbf{r}, t)\psi(\mathbf{r}, t). \]La corrente di probabilità \(\mathbf{j}(\mathbf{r}, t)\) per una particella di massa \(m\) nel potenziale \(V(\mathbf{r}, t)\) è data da:
\[ \mathbf{j}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hbar}{2mi}\left[\psi^*(\mathbf{r}, t)\nabla\psi(\mathbf{r}, t) - \psi(\mathbf{r}, t)\nabla\psi^*(\mathbf{r}, t)\right]. \]L’equazione di continuità ha la forma:
\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0. \]Ciò significa che, se consideriamo un volume dello spazio, la variazione nel tempo della probabilità totale all’interno di quel volume è compensata dal flusso netto di probabilità che attraversa la superficie di quel volume. Questo assicura che la probabilità totale di trovare la particella da qualche parte nello spazio rimanga costante nel tempo.
L’equazione di continuità quantistica è l’analogo dell’equazione di continuità in fluidodinamica, dove \(\rho\) gioca il ruolo di densità di massa e \(\mathbf{j}\) di flusso di massa. Qui, però, \(\rho\) è una densità di probabilità e \(\mathbf{j}\) una corrente di probabilità. Il concetto è lo stesso: nessuna probabilità scompare nel nulla, si sposta semplicemente da una regione dello spazio a un’altra.
Questo garantisce l’interpretazione probabilistica della meccanica quantistica: l’ampiezza di probabilità evolve nel tempo in modo coerente, mantenendo costante la probabilità totale e assicurando una descrizione fisicamente sensata del sistema quantistico.
Consideriamo l’equazione di Schrödinger nella sua forma dipendente dal tempo per una singola particella di massa m:
\( i \hbar \frac{\partial \psi(\mathbf{r}, t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}, t)\psi(\mathbf{r}, t) \).
Prendiamo la funzione d’onda \(\psi(\mathbf{r}, t)\) e consideriamo anche la sua complessa coniugata \(\psi^*(\mathbf{r}, t)\). Applicando l’operazione di coniugazione all’intera equazione, otteniamo:
\( -i \hbar \frac{\partial \psi^*(\mathbf{r}, t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi^*(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}, t)\psi^*(\mathbf{r}, t) \).
A questo punto, moltiplichiamo la prima equazione per \(\psi^*(\mathbf{r}, t)\) e la seconda per \(\psi(\mathbf{r}, t)\), ottenendo due espressioni che andremo a sottrarre tra loro. Questo passaggio è cruciale perché ci permetterà di trovare un’espressione per la derivata temporale della densità di probabilità \(\rho(\mathbf{r}, t) = |\psi(\mathbf{r}, t)|^2 = \psi^*(\mathbf{r}, t)\psi(\mathbf{r}, t)\).
Dopo la moltiplicazione:
\(\psi^* (i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}) = i\hbar \psi^*\frac{\partial \psi}{\partial t}\) e \(\psi(-i\hbar \frac{\partial \psi^*}{\partial t}) = -i\hbar \psi\frac{\partial \psi^*}{\partial t}\).
Sottraendo la seconda espressione dalla prima, si ottiene una forma che contiene \(\psi^*\frac{\partial \psi}{\partial t}\) e \(\psi \frac{\partial \psi^*}{\partial t}\). Il motivo di questo passaggio è che, combinando i termini, emergono derivate temporali di \(\psi\psi^* = |\psi|^2\), vale a dire proprio \(\frac{\partial \rho}{\partial t}\).
Dopo le opportune semplificazioni, ricordando che \(|\psi|^2 = \psi^*\psi\), si giunge a:
\( \frac{\partial}{\partial t}(\psi^*\psi) = \frac{\partial \rho}{\partial t} = \frac{\hbar}{2mi}[\psi^*\nabla^2\psi - \psi\nabla^2\psi^*] \).
A questo punto, occorre manipolare i termini con le derivate seconde, integrando per parti o meglio ancora riconoscendo una forma di divergenza. Infatti, se consideriamo:
\( \mathbf{j}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hbar}{2mi}(\psi^*\nabla\psi - \psi\nabla\psi^*) \),
ci rendiamo conto che la differenza tra \(\psi^*\nabla^2\psi\) e \(\psi\nabla^2\psi^*\) può essere riscritta come una divergenza di \(\mathbf{j}\). Questo richiede qualche passo intermedio di calcolo vettoriale, ma è un risultato standard: si mostra che
\( \frac{\partial \rho}{\partial t} = -\nabla \cdot \mathbf{j} \).
In definitiva, questo è l’enunciato dell’equazione di continuità: la variazione temporale della densità di probabilità è bilanciata dal flusso di probabilità che esce o entra in un volume, garantendo la conservazione della probabilità totale.
Dal punto di vista fisico, questo significa che se consideriamo uno spazio chiuso, la probabilità non si crea né si distrugge, ma si sposta da una regione all’altra. Se il sistema è isolato e l’Hamiltoniano è hermitiano, la norma totale della funzione d’onda (quindi la probabilità totale) rimane 1 per ogni tempo.
Alla lavagna, potremmo illustrare i passaggi così: • Partire dall’equazione di Schrödinger, scriverla e affiancare la sua coniugata. • Moltiplicare e sottrarre le due nuove equazioni per ottenere una relazione tra \(\partial_t |\psi|^2\) e termini contenenti gradienti. • Evidenziare come i termini si riorganizzano in una divergenza della corrente \(\mathbf{j}\). • Mostrare quindi la forma finale \(\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0\), commentando l’analogia con l’equazione di continuità classica per la densità di carica e corrente elettrica, ma qui applicata alla probabilità quantistica.