Equazione di Continuità

Introduzione

L'equazione di continuità descrive la conservazione della probabilità nella meccanica quantistica. Si basa sull'idea che la probabilità totale di trovare una particella in un dato volume debba rimanere costante nel tempo.

Densità di probabilità e corrente di probabilità

La densità di probabilità \( \rho(\vec{r}, t) \) è definita come:
\[ \rho(\vec{r}, t) = |\psi(\vec{r}, t)|^2 \]
La corrente di probabilità \( \vec{j}(\vec{r}, t) \) è data da:
\[ \vec{j}(\vec{r}, t) = \frac{\hbar}{2mi} \left( \psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^* \right) \]
Dove:

Forma differenziale dell'equazione di continuità

L'equazione di continuità è espressa come:
\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{j} = 0 \]
Questa equazione stabilisce che qualsiasi variazione temporale della densità di probabilità in un volume è compensata da un flusso netto di probabilità attraverso i bordi del volume.

Interpretazione fisica

L'equazione di continuità assicura che la probabilità totale di trovare la particella nell'intero spazio sia conservata:
\[ \int \rho(\vec{r}, t) \, d^3r = 1 \]
Questo riflette la natura unitaria dell'evoluzione temporale in meccanica quantistica.

Esempio: Funzione d'onda piana

Per una funzione d'onda piana:
\[ \psi(\vec{r}, t) = A e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)} \]
La densità di probabilità è costante nel tempo (\( \rho = |A|^2 \)) e la corrente di probabilità è:
\[ \vec{j} = \frac{|A|^2 \hbar \vec{k}}{m} \]
Questo esempio illustra come l'equazione di continuità venga soddisfatta. Ritorna all'Indice