Equazione di Schrödinger

La meccanica quantistica, a differenza di quella classica, non fornisce traiettorie determinate per le particelle, ma una descrizione probabilistica dello stato attraverso una funzione d'onda \( \psi(\mathbf{r}, t) \). Affinché questa descrizione sia dinamica, serve un’equazione che indichi come \(\psi(\mathbf{r}, t)\) evolve nel tempo. L’equazione di Schrödinger svolge proprio questo ruolo, ed è ottenuta introducendo i concetti di onde di materia (de Broglie) e le relazioni di corrispondenza fra energia, impulso e operatori quantistici.

Derivazione dall'analogia con le onde di materia

Consideriamo una particella libera (senza potenziale esterno) di massa \(m\). Classicamente l’energia è: \[ E = \frac{p^2}{2m}. \] Dalle ipotesi di de Broglie ed Einstein si assume che a ogni particella sia associata un’onda: \[ E = \hbar \omega, \quad p = \hbar k, \] con \(\omega\) frequenza angolare e \(k\) numero d’onda. Un’onda piana si può scrivere come \(\psi(\mathbf{r}, t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}\). Sostituendo \(p = \hbar k\) ed \(E = \hbar \omega\) nella relazione classica sull’energia, si ottiene: \[ \hbar \omega = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}. \]

Tradurre questa relazione in un’equazione differenziale per \(\psi\) richiede di sostituire: \[ E \to i \hbar \frac{\partial}{\partial t}, \quad p \to -i\hbar \nabla. \] La scelta di queste sostituzioni viene dalla necessità di trasformare quantità classiche (E e p) in operatori che agiscono sulla funzione d’onda. Con queste sostituzioni, l’espressione classica \(E = p^2/(2m)\) diventa: \[ i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r},t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi(\mathbf{r},t). \]

Aggiungendo un potenziale \(V(\mathbf{r}, t)\) che agisce sulla particella, si modifica l’energia totale a: \[ E = \frac{p^2}{2m} + V(\mathbf{r}, t). \] Sostituendo nuovamente \(E\) e \(p\) con gli operatori corrispondenti, si ottiene la forma generale dell’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo:

\[ i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\mathbf{r}, t) = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}, t)\right)\psi(\mathbf{r}, t). \]

Interpretazione alla lavagna

1. Disegnare un asse orizzontale \(x\) e rappresentare un pacchetto d’onda \(\psi(x,t)\). Spiegare che \(|\psi(x,t)|^2\) è la densità di probabilità.

2. Mostrare che dall’analogia con le onde di materia (de Broglie) e dalla sostituzione \(E \to i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\), \(p \to -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\) si giunge a un’equazione differenziale lineare del secondo ordine in spazio e primo ordine in tempo.

3. Se non c’è potenziale, \(\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m}\). Disegnare brevemente uno spettro continuo di energie. In presenza di \(V(x)\), l’operatore Hamiltoniano diventa \(\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x)\).

4. Sottolineare che ogni soluzione \(\psi(x,t)\) evolve deterministicamente da \(\psi(x,0)\), ed essendo l’equazione lineare, la sovrapposizione di soluzioni è ancora una soluzione, riflettendo il principio di sovrapposizione quantistica.

Stati stazionari e forma indipendente dal tempo

Se il potenziale non dipende dal tempo, si cercano soluzioni del tipo \(\psi(\mathbf{r}, t) = \phi(\mathbf{r})e^{-iEt/\hbar}\). Inserendo nell’equazione di Schrödinger, si ottiene l’equazione agli autovalori: \[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \phi(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r})\phi(\mathbf{r}) = E \phi(\mathbf{r}), \] che definisce stati con energia ben definita. Questi stati stazionari permettono di quantizzare l’energia del sistema, un aspetto cruciale della struttura discreta dei livelli energetici atomici e molecolari.

Analisi dei Passaggi Matematici in Dettaglio

Per passare dall'intuizione fisica della corrispondenza tra energia e frequenza (\(E = \hbar \omega\)) e tra impulso e numero d’onda (\(p = \hbar k\)) all'equazione di Schrödinger, seguiamo il ragionamento più lineare:

  1. Partenza dall’energia classica: In meccanica classica, per una particella libera di massa \(m\), \[ E = \frac{p^2}{2m}. \] Questa è la relazione fondamentale tra energia e impulso.
  2. Traduzione in termini di onde: Secondo de Broglie, a una particella si associa un’onda con: \[ p = \hbar k, \quad E = \hbar \omega. \] L’onda piana che rappresenta lo stato a impulso definito è: \[ \psi(\mathbf{r}, t) = e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - \omega t)}. \] Inserendo \(E=\hbar \omega\) e \(p=\hbar k\) nella relazione classica, otteniamo: \[ \hbar \omega = \frac{(\hbar k)^2}{2m} \implies \omega = \frac{\hbar k^2}{2m}. \] Questa relazione è esattamente quella dell'onda associata a una particella libera in meccanica quantistica.
  3. Dall’onda all’equazione differenziale: Se consideriamo la funzione d’onda \(\psi(\mathbf{r}, t)\) come funzione da determinare, vogliamo un’equazione differenziale che, applicata a \(\psi\), restituisca la relazione tra \(\omega\) e \(k\). Osserviamo che derivare \(\psi\) rispetto al tempo introduce un fattore \(-i\omega\): \[ \frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r}, t) = -i\omega \psi(\mathbf{r}, t). \] Allo stesso modo, operando con il laplaciano (o la derivata seconda spaziale in 1D) su \(\psi\), otteniamo un fattore \(-k^2\): \[ \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) = -k^2 \psi(\mathbf{r}, t). \] Se mettiamo insieme: \[ \omega = \frac{\hbar k^2}{2m} \implies \hbar \omega = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}. \] Sostituiamo \(\omega\) con \(-i\frac{\partial}{\partial t}\) e \(k^2\) con \(-\nabla^2\). Questo viene fatto identificando: \[ E \to i\hbar \frac{\partial}{\partial t}, \quad p \to -i\hbar \nabla. \] Queste sostituzioni sono la “ricetta” di quantizzazione: al posto di usare numeri per E e p, usiamo operatori differenziali. Così: \[ \hbar \omega \to i\hbar \frac{\partial}{\partial t}, \quad \hbar^2 k^2 \to -\hbar^2 \nabla^2. \] Da qui: \[ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r}, t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t). \] Questa è l’equazione di Schrödinger per la particella libera.
  4. Introduzione del potenziale: Per aggiungere un potenziale \(V(\mathbf{r}, t)\), ricordiamo la relazione classica: \[ E = \frac{p^2}{2m} + V. \] Nel formalismo quantistico, l’operatore energia (Hamiltoniano) diventa: \[ \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(\mathbf{r}, t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}, t). \] Includendo questo termine nell’equazione, otteniamo la forma generale dell’equazione di Schrödinger: \[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r}, t) = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}, t)\right)\psi(\mathbf{r}, t). \]
  5. Linearità e Principio di Sovrapposizione: L’equazione di Schrödinger è lineare in \(\psi\). Questo significa che se \(\psi_1(\mathbf{r}, t)\) e \(\psi_2(\mathbf{r}, t)\) sono soluzioni, allora qualsiasi combinazione lineare \(a\psi_1 + b\psi_2\) lo è. Questo riflette la natura quantistica degli stati, che possono essere sovrapposti per generare nuovi stati. Questa linearità è cruciale: permette la costruzione di soluzioni generali da autostati di energia, l’evoluzione di pacchetti d’onda e la descrizione di fenomeni di interferenza.

In definitiva, i passaggi matematici cruciali sono:

Questa procedura porta all’equazione differenziale fondamentale che descrive la dinamica quantistica, permettendo di calcolare l’evoluzione temporale della funzione d’onda e quindi la probabilità di trovare la particella in una data regione dello spazio a un dato tempo.

Le autofunzioni dell’operatore di Sturm-Liouville (o di Liouville) nella forma matematica generale corrispondono, in fisica quantistica, alle funzioni d’onda stazionarie, che sono anche autofunzioni dell’operatore hamiltoniano o operatore energia presenti nell’equazione di Schrödinger. Questa analogia permette di applicare tutte le proprietà della teoria Sturm-Liouville ai sistemi quantistici: autovalori reali e ordinati, ortogonalità e completezza delle autofunzioni, teoremi di oscillazione e separazione dei nodi. Nel caso 3D a simmetria sferica, separando le variabili si ottengono soluzioni angolari tramite armoniche sferiche e soluzioni radiali tramite polinomi di Laguerre, seguendo la stessa logica vista in 1D. Se invece il potenziale dipende dal tempo o non è separabile, si usano altre tecniche come lo sviluppo in serie temporali, metodi perturbativi o integrazione numerica. Ritorna all'Indice