Equazione di Schrödinger in 3 Dimensioni

L’equazione di Schrödinger in tre dimensioni è la generalizzazione naturale del caso unidimensionale e consente di descrivere sistemi più realistici. Gli stati quantistici di particelle che si muovono nello spazio tridimensionale, sotto l’azione di potenziali scalari \(V(\mathbf{r})\), sono descritti da funzioni d’onda \(\psi(x,y,z,t)\) o, in notazione vettoriale, \(\psi(\mathbf{r},t)\) con \(\mathbf{r}=(x,y,z)\). L’Hamiltoniano è:

\[ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}). \]

L’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo diventa:

\[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r},t) = \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r})\right]\psi(\mathbf{r},t). \]

La principale differenza rispetto al caso 1D è la presenza del laplaciano tridimensionale \(\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\). Ciò rende il problema generalmente più complesso e spesso richiede l’uso di coordinate speciali (cilindriche, sferiche) a seconda della simmetria del potenziale.

Simmetrie e Coordinate

Se il potenziale ha simmetrie particolari, l’equazione può essere semplificata usando coordinate adatte:

Simmetria sferica: Se \(V(\mathbf{r})=V(r)\) dipende solo dalla distanza \(r = |\mathbf{r}|\), è conveniente usare coordinate sferiche. L’equazione si separa in una parte radiale e una angolare. Le soluzioni angolari sono le armoniche sferiche, mentre la parte radiale soddisfa un’equazione del tipo di Bessel modificato.
Simmetria cilindrica: Se \(V\) dipende da \((\rho,\phi,z)\) in modo adeguato, si possono sfruttare coordinate cilindriche. Questo risulta utile ad esempio per potenziali con simmetria attorno a un asse.

Il vantaggio di sfruttare la simmetria è che l’equazione si separa in funzioni di variabili singole, riducendo la complessità del problema.

Stati Stazionari in 3D

Come nel caso 1D, se il potenziale non dipende dal tempo, si possono cercare soluzioni stazionarie del tipo:

\[ \psi(\mathbf{r},t) = \phi(\mathbf{r}) e^{-iEt/\hbar}. \]

Inserendo questa ansatz, si ottiene l’equazione di Schrödinger indipendente dal tempo:

\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \phi(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r})\phi(\mathbf{r}) = E\phi(\mathbf{r}). \]

Le autofunzioni \(\phi(\mathbf{r})\) possono essere classificate in base ai numeri quantici derivanti dalla separazione in coordinate appropriate. Ad esempio, per un potenziale sfericamente simmetrico, la soluzione si esprime come:

\[ \phi_{nlm}(r,\theta,\phi) = R_{nl}(r)Y_{l}^{m}(\theta,\phi), \] dove \(Y_{l}^{m}(\theta,\phi)\) sono le armoniche sferiche e \(R_{nl}(r)\) le funzioni radiali.

Momento Angolare e Operatori di Rotazione

In 3D, il momento angolare gioca un ruolo fondamentale nella classificazione degli stati quantistici. Gli operatori \(\hat{L}_x, \hat{L}_y, \hat{L}_z\) e gli operatori di alzamento e abbassamento \(\hat{L}_+\) e \(\hat{L}_-\) emergono naturalmente nella soluzione dell’equazione di Schrödinger con simmetria sferica. Il quadrato del momento angolare \(\hat{L}^2\) e la sua componente \(\hat{L}_z\) commutano con l’Hamiltoniano sfericamente simmetrico, permettendo di etichettare gli stati con i numeri quantici \(l\) e \(m\).

Alla Lavagna

1. Scrivi l’equazione 3D: \[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(x,y,z,t) = \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right) + V(x,y,z)\right]\psi. \]

2. Separa le variabili se possibile. Se \(V\) non dipende dal tempo: \[ \psi(\mathbf{r},t)=\phi(\mathbf{r})e^{-iE t/\hbar}. \]

3. Ottieni l’equazione indipendente dal tempo: \[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\phi(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r})\phi(\mathbf{r}) = E\phi(\mathbf{r}). \]

4. Disegna un potenziale sferico \(V(r)\) e mostra che usando coordinate sferiche (\(r,\theta,\phi\)) l’equazione si separa in una parte radiale e in una angolare.

5. Mostra le soluzioni angolari come armoniche sferiche \(Y_l^m(\theta,\phi)\), utili per classificare i livelli energetici.

Esempi di Interesse

Le soluzioni dell’equazione di Schrödinger in 3D sono note per alcuni potenziali di grande interesse:

Oscillatore armonico 3D: Le soluzioni sono prodotti di funzioni dell’oscillatore 1D in ciascuna direzione, o in forma sferica, ancora legate a polinomi specifici.
Potenziali centrali: Come nell’atomo di idrogeno, le soluzioni sono etichettate dai numeri quantici \(n, l, m\) e presentano una struttura energetica discreta (spettri quantizzati).

Il risultato è che le soluzioni tridimensionali possono essere molto ricche e consentono di descrivere fenomeni quantistici reali, come le orbite elettroniche negli atomi, la dinamica molecolare, le proprietà di particelle in campi esterni, e così via.

Separazione delle Variabili e Coordinate Sferiche

Se il potenziale V(r) è sfericamente simmetrico, cioè dipende solo da r e non da θ, φ, la scelta naturale è quella di passare alle coordinate sferiche. Si definiscono:

\[ r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \quad \theta = \arccos\left(\frac{z}{r}\right), \quad \phi = \arctan\left(\frac{y}{x}\right). \]

Il Laplaciano in coordinate sferiche assume la forma:

\[ \nabla^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}. \]

Quando V=V(r), si tenta una separazione di variabili del tipo:

\[ \psi(r,\theta,\phi,t) = R(r) \Theta(\theta) \Phi(\phi) e^{-iE t/\hbar}. \]

La sostituzione nell'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo porta a un'equazione separabile in tre parti: radiale, θ e φ. Le parti angolari sono risolte introducendo funzioni dette armoniche sferiche \( Y_l^m(\theta,\phi) \), autostati del momento angolare. Essi costituiscono una base ortonormale sulle due variabili angolari. In notazione compatta:

\[ \phi_{nlm}(r,\theta,\phi) = R_{nl}(r) Y_l^m(\theta,\phi). \]

Le armoniche sferiche soddisfano:

\[ \hat{L}^2 Y_l^m(\theta,\phi) = \hbar^2 l(l+1) Y_l^m(\theta,\phi), \quad \hat{L}_z Y_l^m(\theta,\phi) = \hbar m Y_l^m(\theta,\phi). \]

Qui l e m sono numeri quantici che caratterizzano il momento angolare. Il numero l = 0,1,2,... determina il valore del momento angolare totale, mentre m = -l, -l+1, ... l-1, l specifica la proiezione del momento angolare lungo l'asse z. Questo set di soluzioni angolari è completo e ortonormale sulla sfera:

\[ \int_0^\pi \int_0^{2\pi} Y_l^{m*}(\theta,\phi) Y_{l'}^{m'}(\theta,\phi) \sin\theta d\theta d\phi = \delta_{ll'}\delta_{mm'}. \]

La parte radiale, R_{nl}(r), soddisfa un'equazione differenziale che, dopo sostituzioni standard, conduce a un'equazione del tipo:

\[ \frac{d^2}{dr^2}u_{nl}(r) + \left[\frac{2m}{\hbar^2}(E - V(r)) - \frac{l(l+1)}{r^2}\right]u_{nl}(r) = 0, \] dove si è posto u_{nl}(r) = r R_{nl}(r). Questo riduce il problema radiale a un'equazione unidimensionale in r, ma con un potenziale efficace:

\[ V_{\text{eff}}(r) = V(r) + \frac{\hbar^2}{2m}\frac{l(l+1)}{r^2}. \]

Il termine l(l+1)/r^2 nasce dal contributo del momento angolare e funge come barriera centrifuga che influenza la penetrazione radiale della funzione d'onda. A questo punto, la ricerca delle soluzioni radiali dipende strettamente dalla forma di V(r). Per casi noti, come il potenziale di Coulomb nell'atomo di idrogeno, le soluzioni R_{nl}(r) si esprimono in termini di funzioni speciali (funzioni di Laguerre associate), mentre per l'oscillatore armonico 3D si usano i polinomi di Hermite in forma sferica.

Selezione degli Stati e Numeri Quantici

La condizione di normalizzabilità determina quali soluzioni radiali sono accettabili. Questo, unito ai vincoli di regolarità in r=0 e al comportamento asintotico a r→∞, quantizza i valori di E, l, e n. In un potenziale centrale, si ottiene una serie discreta di livelli energetici per stati legati e uno spettro continuo per stati di diffusione.

In tal modo, l'intera soluzione 3D è specificata dai numeri quantici (n, l, m) nel caso di un potenziale sfericamente simmetrico, e la funzione d'onda è:

\[ \psi_{nlm}(r,\theta,\phi,t) = R_{nl}(r) Y_l^m(\theta,\phi) e^{-iE_n t/\hbar}. \] Non sono necessari ulteriori combinazioni a meno che lo stato iniziale non sia una sovrapposizione di autostati di energia, nel qual caso è sufficiente espandere la funzione d'onda iniziale in questa base completa.

Visualizzazione alla Lavagna

Per chiarire i passaggi matematici, alla lavagna si può procedere come segue:

Scrivere l'equazione di Schrödinger in coordinate cartesiane, poi indicare il cambio a coordinate sferiche.
Mostrare la forma del Laplaciano in coordinate sferiche, evidenziando la separazione angolare vs radiale.
Indicare che la parte angolare, per V(r), si risolve mediante armoniche sferiche. Scrivere la formula di ortonormalità delle armoniche sferiche.
Disegnare un potenziale sfericamente simmetrico, ad esempio un pozzo o una buca, e illustrare qualitativamente i livelli energetici risultanti dal problema radiale.
Far vedere come, una volta note \( R_{nl}(r) e Y_{l}^{m}(\theta,\phi) \), la soluzione completa si ottiene come prodotto di termini radiali e angolari, con un fattore di fase temporale.

Questa procedura conferma che la tridimensionalità e la presenza del momento angolare introducono una ricchezza strutturale significativa. L'analisi delle armoniche sferiche e delle funzioni radiali permette di classificare completamente gli stati e di comprendere la natura quantica di sistemi fondamentali come atomi e molecole.

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