Esame 9 (04-02-2022) — Spin \(1\) in base \(S_x\), ricostruzione stato dell’oscillatore, due particelle \(l=1\)

Testo

Una particella con spin \(1\) si trova nello stato:

Nota (coerente col PDF): gli stati \(|m\rangle_x\) sono autostati di \(S_x\) con autovalori \(m\hbar\), con \(m=+1,0,-1\).

• (a) Qual è il valore medio di \(S_x\)?
• (b) Quali sono i valori possibili e le rispettive probabilità di una misura di \(S_z\)?
• (c) Qual è il valore medio di \(S_z\)?

(a) Calcolo di \(\langle S_x\rangle\)

1. In base \(|m\rangle_x\), l’operatore \(S_x\) è diagonale: \[ S_x|m\rangle_x = m\hbar |m\rangle_x. \] Quindi: \[ \langle S_x\rangle = \hbar\left( (+1)P_{+} + 0\cdot P_0 + (-1)P_{-}\right) =\hbar(P_{+}-P_{-}). \]
2. Probabilità (coeff. normalizzati): \[ c_{+}=\frac{2\sqrt3}{5},\quad c_{0}=\frac{3i}{5},\quad c_{-}=\frac{2}{5}. \] Quindi \[ P_{+}=|c_+|^2=\frac{12}{25},\quad P_{0}=|c_0|^2=\frac{9}{25},\quad P_{-}=|c_-|^2=\frac{4}{25}. \]

3. Risultato (a)

   \[ \langle S_x\rangle=\hbar\left(\frac{12}{25}-\frac{4}{25}\right) =\hbar\cdot\frac{8}{25}. \] \[ \boxed{\langle S_x\rangle=\frac{8}{25}\hbar.} \]

(b) Probabilità di una misura di \(S_z\)

1. Per misurare \(S_z\) devo esprimere lo stato in base \(|m\rangle_z\).
   
   Uso un metodo “pulito”: trovo gli autovettori di \(S_x\) (già noti) in base \(S_z\). In base \(\{|+1\rangle_z,|0\rangle_z,|-1\rangle_z\}\), valgono: \[ |+1\rangle_x=\frac12|+1\rangle_z+\frac{1}{\sqrt2}|0\rangle_z+\frac12|-1\rangle_z, \] \[ |0\rangle_x=\frac{1}{\sqrt2}|+1\rangle_z-\frac{1}{\sqrt2}|-1\rangle_z, \] \[ |-1\rangle_x=\frac12|+1\rangle_z-\frac{1}{\sqrt2}|0\rangle_z+\frac12|-1\rangle_z. \]

   (Queste relazioni si ottengono risolvendo \(S_x v=\lambda v\) usando la matrice di \(S_x\) nel formulario.)

2. Sostituisco nello stato normalizzato: \[ |\Psi\rangle_{\text{norm}}=c_+|+1\rangle_x+c_0|0\rangle_x+c_-|-1\rangle_x, \] con \[ c_+=\frac{2\sqrt3}{5},\quad c_0=\frac{3i}{5},\quad c_-=\frac{2}{5}. \] Calcolo i coefficienti davanti a \(|+1\rangle_z, |0\rangle_z, |-1\rangle_z\).
3. Coefficiente di \(|+1\rangle_z\).
   Contributi: \[ |+1\rangle_x \to \frac12|+1\rangle_z,\quad |0\rangle_x \to \frac{1}{\sqrt2}|+1\rangle_z,\quad |-1\rangle_x \to \frac12|+1\rangle_z. \] Quindi: \[ a \equiv \langle +1|_z \Psi\rangle =\frac12 c_+ +\frac{1}{\sqrt2}c_0+\frac12 c_-. \] Ora calcolo i pezzi “banali”: \[ \frac12(c_+ + c_-)=\frac12\left(\frac{2\sqrt3}{5}+\frac{2}{5}\right) =\frac{2(\sqrt3+1)}{10}=\frac{\sqrt3+1}{5}. \] \[ \frac{1}{\sqrt2}c_0=\frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{3i}{5}=\frac{3i}{5\sqrt2}. \] Quindi: \[ \boxed{a=\frac{\sqrt3+1}{5}+\frac{3i}{5\sqrt2}}. \]
4. Coefficiente di \(|0\rangle_z\).
   Contributi: \[ |+1\rangle_x \to \frac{1}{\sqrt2}|0\rangle_z,\quad |0\rangle_x \to 0,\quad |-1\rangle_x \to -\frac{1}{\sqrt2}|0\rangle_z. \] Quindi: \[ b \equiv \langle 0|_z \Psi\rangle =\frac{1}{\sqrt2}(c_+-c_-) =\frac{1}{\sqrt2}\left(\frac{2\sqrt3}{5}-\frac{2}{5}\right) =\frac{2(\sqrt3-1)}{5\sqrt2}. \] \[ \boxed{b=\frac{2(\sqrt3-1)}{5\sqrt2}}\quad \text{(reale)}. \]
5. Coefficiente di \(|-1\rangle_z\).
   Per simmetria viene: \[ c \equiv \langle -1|_z \Psi\rangle =\frac12 c_+ -\frac{1}{\sqrt2}c_0+\frac12 c_- =\frac{\sqrt3+1}{5}-\frac{3i}{5\sqrt2}. \] \[ \boxed{c=\frac{\sqrt3+1}{5}-\frac{3i}{5\sqrt2}}. \]

6. Probabilità di \(S_z\)

   I valori possibili sono \(+\hbar,0,-\hbar\) con probabilità \[ P_{+}^z=|a|^2,\qquad P_0^z=|b|^2,\qquad P_-^z=|c|^2. \] Notare che \(c=a^*\) (sono complessi coniugati), quindi \(P_+^z=P_-^z\).

   Calcolo esplicito di \(P_{+}^z=|a|^2\).

   \[ a=\frac{1}{5}\Big((\sqrt3+1)+\frac{3i}{\sqrt2}\Big) \Rightarrow |a|^2=\frac{1}{25}\left((\sqrt3+1)^2+\left(\frac{3}{\sqrt2}\right)^2\right). \] Ora: \[ (\sqrt3+1)^2=3+1+2\sqrt3=4+2\sqrt3, \qquad \left(\frac{3}{\sqrt2}\right)^2=\frac{9}{2}. \] Somma: \[ 4+2\sqrt3+\frac{9}{2}=\frac{8}{2}+\frac{9}{2}+2\sqrt3=\frac{17}{2}+2\sqrt3. \] Quindi: \[ |a|^2=\frac{1}{25}\left(\frac{17}{2}+2\sqrt3\right)=\frac{1}{50}(17+4\sqrt3). \]

   Calcolo esplicito di \(P_0^z=|b|^2\).

   \[ b=\frac{2(\sqrt3-1)}{5\sqrt2} \Rightarrow |b|^2=\frac{4(\sqrt3-1)^2}{25\cdot 2}. \] \[ (\sqrt3-1)^2=3+1-2\sqrt3=4-2\sqrt3. \] Quindi: \[ |b|^2=\frac{4(4-2\sqrt3)}{50}=\frac{16-8\sqrt3}{50}=\frac{8-4\sqrt3}{25}. \]

   Risposta (b)

   \[ \boxed{ P(S_z=+\hbar)=\frac{17+4\sqrt3}{50},\quad P(S_z=0)=\frac{8-4\sqrt3}{25},\quad P(S_z=-\hbar)=\frac{17+4\sqrt3}{50}. } \]

   Check “banale” che sommano a 1: \(2\cdot\frac{17+4\sqrt3}{50}+\frac{8-4\sqrt3}{25} =\frac{34+8\sqrt3}{50}+\frac{16-8\sqrt3}{50}=\frac{50}{50}=1\).

(c) Calcolo di \(\langle S_z\rangle\)

1. In una misura di \(S_z\), i valori sono \(+\hbar,0,-\hbar\). Quindi: \[ \langle S_z\rangle = \hbar(P_+^z - P_-^z) + 0\cdot P_0^z. \]
2. Siccome \(P_+^z=P_-^z\), si annullano: \[ \boxed{\langle S_z\rangle=0.} \]

Testo

Misurando l’energia di un oscillatore armonico unidimensionale si ottengono i seguenti valori:

con valore medio dell’energia pari a \(\frac{8}{3}\hbar\omega\). Sappiamo inoltre che \(\langle m\omega x^2\rangle=\frac{5}{3}\hbar\).

Determinare lo stato dell’oscillatore armonico sapendo che i coefficienti dello sviluppo sono reali, con quello relativo allo stato di energia \(\frac{7}{2}\hbar\omega\) positivo.

Step 1: forma dello stato e notazione

1. Per l’oscillatore: \[ E_n=\hbar\omega\left(n+\frac12\right). \] Quindi: \[ \frac{3}{2}\hbar\omega \Rightarrow n=1,\quad \frac{5}{2}\hbar\omega \Rightarrow n=2,\quad \frac{7}{2}\hbar\omega \Rightarrow n=3. \]
2. Se una misura può dare solo quei tre valori, lo stato ha supporto solo su \(|1\rangle,|2\rangle,|3\rangle\): \[ |\psi\rangle=a|1\rangle+b|2\rangle+c|3\rangle, \qquad a,b,c\in\mathbb{R},\qquad c>0. \]
3. Normalizzazione: \[ a^2+b^2+c^2=1. \]

Step 2: equazione da \(\langle E\rangle\)

1. \[ \langle E\rangle =a^2\frac{3}{2}\hbar\omega+b^2\frac{5}{2}\hbar\omega+c^2\frac{7}{2}\hbar\omega =\frac{8}{3}\hbar\omega. \] Divido tutto per \(\hbar\omega\) (banale): \[ \frac{3}{2}a^2+\frac{5}{2}b^2+\frac{7}{2}c^2=\frac{8}{3}. \]
2. Moltiplico per 2 per togliere i denominatori “/2”: \[ 3a^2+5b^2+7c^2=\frac{16}{3}. \]
   (Ho moltiplicato entrambi i membri per 2: \(\frac{8}{3}\cdot 2=\frac{16}{3}\).)
3. \[ \boxed{3a^2+5b^2+7c^2=\frac{16}{3}.} \]

Step 3: equazione da \(\langle m\omega x^2\rangle\)

1. Uso \[ x=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(a+a^\dagger) \Rightarrow x^2=\frac{\hbar}{2m\omega}(a+a^\dagger)^2. \] Quindi: \[ m\omega x^2=\frac{\hbar}{2}(a+a^\dagger)^2. \]
2. Espando: \[ (a+a^\dagger)^2=a^2+(a^\dagger)^2+aa^\dagger+a^\dagger a. \] In una sovrapposizione di \(|1\rangle,|2\rangle,|3\rangle\), gli unici termini “incrociati” possibili sono tra stati che differiscono di \(\Delta n=\pm 2\), perché \(a^2\) abbassa di 2 e \((a^\dagger)^2\) alza di 2.
   
   Qui \(|1\rangle\) e \(|3\rangle\) differiscono di 2 → comparirà un termine \(a\,c\).
3. Valori standard: \[ \langle n|x^2|n\rangle=\frac{\hbar}{2m\omega}(2n+1). \] Quindi: \[ \langle n|m\omega x^2|n\rangle=\frac{\hbar}{2}(2n+1)=\hbar\left(n+\frac12\right). \] (Sembra “uguale a \(E_n/\omega\)” — ed è normale.)
4. Elemento fuori diagonale utile: \[ \langle 1|x^2|3\rangle=\frac{\hbar}{2m\omega}\langle 1|a^2|3\rangle. \] Ma: \[ a^2|3\rangle = a(\sqrt3|2\rangle)=\sqrt3\,a|2\rangle=\sqrt3\sqrt2\,|1\rangle=\sqrt6\,|1\rangle, \] quindi: \[ \langle 1|a^2|3\rangle=\sqrt6, \qquad \Rightarrow \langle 1|x^2|3\rangle=\frac{\hbar}{2m\omega}\sqrt6. \] Moltiplicando per \(m\omega\): \[ \langle 1|m\omega x^2|3\rangle=\frac{\hbar}{2}\sqrt6. \]
5. Metto insieme tutto: \[ \langle m\omega x^2\rangle = a^2\hbar\left(1+\frac12\right) +b^2\hbar\left(2+\frac12\right) +c^2\hbar\left(3+\frac12\right) +2ac\left(\frac{\hbar}{2}\sqrt6\right), \] cioè: \[ \langle m\omega x^2\rangle =\hbar\left(\frac32a^2+\frac52b^2+\frac72c^2\right)+\hbar\,ac\sqrt6. \] Ma il testo dà: \[ \langle m\omega x^2\rangle=\frac{5}{3}\hbar. \] Divido per \(\hbar\): \[ \frac32a^2+\frac52b^2+\frac72c^2 + ac\sqrt6=\frac53. \]
6. Moltiplico per 2: \[ 3a^2+5b^2+7c^2 + 2ac\sqrt6=\frac{10}{3}. \]
7. \[ \boxed{3a^2+5b^2+7c^2 + 2ac\sqrt6=\frac{10}{3}.} \]

Step 4: risoluzione (conti “banali” espliciti)

1. Sottraggo l’equazione dell’energia (Step 2) da quella di \(x^2\) (Step 3): \[ \Big(3a^2+5b^2+7c^2 + 2ac\sqrt6\Big) - \Big(3a^2+5b^2+7c^2\Big) = \frac{10}{3}-\frac{16}{3}. \] A sinistra “cancella tutto” tranne il termine incrociato: \[ 2ac\sqrt6=\frac{-6}{3}=-2. \] Quindi: \[ ac\sqrt6=-1 \quad\Rightarrow\quad \boxed{ac=-\frac{1}{\sqrt6}}. \]
2. Ora uso anche normalizzazione per eliminare \(b^2\): \[ b^2=1-a^2-c^2. \] Inserisco nell’equazione dell’energia: \[ 3a^2+5(1-a^2-c^2)+7c^2=\frac{16}{3}. \] Sviluppo: \[ 3a^2+5-5a^2-5c^2+7c^2=\frac{16}{3} \Rightarrow 5-2a^2+2c^2=\frac{16}{3}. \] Porto il 5 a destra: \[ -2a^2+2c^2=\frac{16}{3}-5=\frac{16}{3}-\frac{15}{3}=\frac{1}{3}. \] Divido per 2: \[ -a^2+c^2=\frac{1}{6} \Rightarrow \boxed{c^2-a^2=\frac16.} \]
3. Metto \(u=a^2\ge 0\), \(v=c^2\ge 0\). Allora: \[ v-u=\frac16,\qquad uv=\frac16 \quad (\text{perché }(ac)^2=\frac{1}{6}). \] Sostituisco \(v=u+\frac16\) dentro \(uv=\frac16\): \[ u\left(u+\frac16\right)=\frac16 \Rightarrow u^2+\frac16u-\frac16=0. \] Moltiplico per 6: \[ 6u^2+u-1=0. \] Discriminante: \[ \Delta=1^2-4\cdot 6\cdot(-1)=1+24=25, \quad \sqrt{\Delta}=5. \] Quindi: \[ u=\frac{-1\pm 5}{12}. \] Due possibilità: \[ u_1=\frac{4}{12}=\frac13,\qquad u_2=\frac{-6}{12}=-\frac12\ (\text{scarto perché }u\ge 0). \] Dunque: \[ \boxed{a^2=\frac13.} \] Poi: \[ c^2=v=u+\frac16=\frac13+\frac16=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac12 \Rightarrow \boxed{c^2=\frac12.} \] Infine: \[ b^2=1-a^2-c^2=1-\frac13-\frac12=1-\frac{2}{6}-\frac{3}{6}=1-\frac{5}{6}=\frac16 \Rightarrow \boxed{b^2=\frac16.} \]
4. Ora i segni: \[ c>0 \Rightarrow c=\sqrt{\frac12}=\frac{1}{\sqrt2}. \] Inoltre \(ac=-\frac{1}{\sqrt6}\) implica che \(a\) è negativo: \[ a=\frac{ac}{c}=\left(-\frac{1}{\sqrt6}\right)\bigg/\left(\frac{1}{\sqrt2}\right) =-\frac{\sqrt2}{\sqrt6}=-\frac{1}{\sqrt3}. \] Per \(b\) il testo non dà un vincolo di segno: quindi \[ b=\pm\frac{1}{\sqrt6}. \]

5. Risposta finale (Ex 2)

   \[ \boxed{ |\psi\rangle = -\frac{1}{\sqrt3}|1\rangle \ \pm\ \frac{1}{\sqrt6}|2\rangle +\frac{1}{\sqrt2}|3\rangle } \]

   Il segno di \(b\) non influenza né \(\langle E\rangle\) né \(\langle m\omega x^2\rangle\) perché \(x^2\) collega (in questa sottobase) solo \(|1\rangle\leftrightarrow|3\rangle\). Se vuoi una scelta convenzionale “univoca”, spesso si prende \(b>0\).

Testo

Al tempo \(t=0\), lo stato di un sistema di due particelle è rappresentato nella base \(|l_1,m_1\rangle|l_2,m_2\rangle\) con \(l_1=l_2=1\) dal vettore

• (a) Quali sono i possibili valori di una misura di \(L^2\) e \(L_z\) con \(\mathbf{L}=\mathbf{L}_1+\mathbf{L}_2\)?
• (b) Sia \[ H=\frac{L^2}{2I}+\lambda\,\mathbf{L}_1\cdot\mathbf{L}_2. \] Determinare \(|\Psi(t)\rangle\) e \(\langle H\rangle\).
• (c) Ripetere (a) a tempo \(t\) generico.

(a) Possibili risultati e probabilità per \(L^2\) e \(L_z\)

1. Misura di \(L_z\). Poiché \(L_z=L_{1z}+L_{2z}\), sullo stato prodotto: \[ L_z|1,1\rangle|1,-1\rangle=(1-1)\hbar|1,1\rangle|1,-1\rangle=0\cdot\hbar\,|\Psi(0)\rangle. \] Quindi: \[ \boxed{L_z=0\ \text{con probabilità }1.} \]
2. Misura di \(L^2\). Per somma di due momenti angolari con \(l_1=l_2=1\), i valori possibili sono: \[ L=0,1,2. \] Qui \(M=m_1+m_2=1+(-1)=0\), quindi sono permessi tutti e tre: \[ |L=0,M=0\rangle,\quad |L=1,M=0\rangle,\quad |L=2,M=0\rangle. \]
3. Ora serve decomporre \(|1,1\rangle|1,-1\rangle\) nella base accoppiata \(|L,M\rangle\). Uso i coefficienti di Clebsch‑Gordan per \(1\otimes 1\) (standard): \[ |1,1\rangle|1,-1\rangle = \frac{1}{\sqrt6}|2,0\rangle +\frac{1}{\sqrt2}|1,0\rangle +\frac{1}{\sqrt3}|0,0\rangle. \]

   Check “banale” di normalizzazione: \(1/6+1/2+1/3=1\).

4. Risposta (a)

   I valori possibili di \(L^2\) sono \(L(L+1)\hbar^2\) con \(L=0,1,2\), e le probabilità sono i moduli quadri dei coefficienti:

   \[ \boxed{ P(L=2)=\frac16,\quad P(L=1)=\frac12,\quad P(L=0)=\frac13. } \]

   Inoltre: \[ \boxed{P(L_z=0)=1.} \]

(b) Evoluzione \(|\Psi(t)\rangle\) e \(\langle H\rangle\)

1. Riscrivo \(\mathbf{L}_1\cdot\mathbf{L}_2\) usando: \[ \mathbf{L}^2=\mathbf{L}_1^2+\mathbf{L}_2^2+2\,\mathbf{L}_1\cdot\mathbf{L}_2 \Rightarrow \mathbf{L}_1\cdot\mathbf{L}_2=\frac12\left(\mathbf{L}^2-\mathbf{L}_1^2-\mathbf{L}_2^2\right). \]
2. Per \(l_1=l_2=1\): \[ \mathbf{L}_1^2=\mathbf{L}_2^2=l(l+1)\hbar^2=1\cdot 2\,\hbar^2=2\hbar^2. \] Quindi: \[ \mathbf{L}_1^2+\mathbf{L}_2^2=4\hbar^2. \]
3. Inserisco in \(H\): \[ H=\frac{L^2}{2I}+\lambda\cdot\frac12\left(L^2-4\hbar^2\right) = \left(\frac{1}{2I}+\frac{\lambda}{2}\right)L^2-2\lambda\hbar^2. \] Conclusione importantissima:

   Diagonalizzazione “gratis”

   \(H\) dipende solo da \(L^2\) (più una costante), quindi gli autostati di energia sono \(|L,M\rangle\). In particolare i \(|L,0\rangle\) che compaiono sono autostati di \(H\).

4. Autovalori di \(L^2\): \(L^2|L,M\rangle=L(L+1)\hbar^2|L,M\rangle\). Quindi l’energia: \[ E_L=\left(\frac{1}{2I}+\frac{\lambda}{2}\right)L(L+1)\hbar^2-2\lambda\hbar^2. \] Calcolo caso per caso (conti espliciti):
   • \(L=0\Rightarrow L(L+1)=0\): \[ E_0=0-2\lambda\hbar^2=-2\lambda\hbar^2. \]
   • \(L=1\Rightarrow L(L+1)=2\): \[ E_1=\left(\frac{1}{2I}+\frac{\lambda}{2}\right)2\hbar^2-2\lambda\hbar^2 =\left(\frac{1}{I}+\lambda-2\lambda\right)\hbar^2 =\left(\frac{1}{I}-\lambda\right)\hbar^2. \]
   • \(L=2\Rightarrow L(L+1)=6\): \[ E_2=\left(\frac{1}{2I}+\frac{\lambda}{2}\right)6\hbar^2-2\lambda\hbar^2 =\left(\frac{3}{I}+3\lambda-2\lambda\right)\hbar^2 =\left(\frac{3}{I}+\lambda\right)\hbar^2. \]
5. Evoluzione temporale: \[ |\Psi(t)\rangle=\sum_{L=0}^2 c_L\,e^{-iE_L t/\hbar}\,|L,0\rangle, \] con coefficienti iniziali \[ c_2=\frac{1}{\sqrt6},\quad c_1=\frac{1}{\sqrt2},\quad c_0=\frac{1}{\sqrt3}. \]

6. Risposta (b): stato a tempo \(t\)

   \[ \boxed{ |\Psi(t)\rangle = \frac{1}{\sqrt6}e^{-iE_2 t/\hbar}|2,0\rangle + \frac{1}{\sqrt2}e^{-iE_1 t/\hbar}|1,0\rangle + \frac{1}{\sqrt3}e^{-iE_0 t/\hbar}|0,0\rangle } \] con \[ E_0=-2\lambda\hbar^2,\quad E_1=\left(\frac{1}{I}-\lambda\right)\hbar^2,\quad E_2=\left(\frac{3}{I}+\lambda\right)\hbar^2. \]
7. Media dell’energia \(\langle H\rangle\). Poiché \(H\) è indipendente dal tempo, \(\langle H\rangle\) è costante e vale \[ \langle H\rangle=\sum_L |c_L|^2 E_L =\frac16E_2+\frac12E_1+\frac13E_0. \] Calcolo (conti espliciti): \[ \frac16E_2=\frac16\left(\frac{3}{I}+\lambda\right)\hbar^2=\left(\frac{1}{2I}+\frac{\lambda}{6}\right)\hbar^2, \] \[ \frac12E_1=\frac12\left(\frac{1}{I}-\lambda\right)\hbar^2=\left(\frac{1}{2I}-\frac{\lambda}{2}\right)\hbar^2, \] \[ \frac13E_0=\frac13(-2\lambda\hbar^2)=\left(-\frac{2\lambda}{3}\right)\hbar^2. \] Sommo i pezzi \(1/I\): \[ \frac{1}{2I}+\frac{1}{2I}=\frac{1}{I}. \] Sommo i pezzi in \(\lambda\) con denominatore 6: \[ \frac{\lambda}{6}-\frac{\lambda}{2}-\frac{2\lambda}{3} = \frac{\lambda}{6}-\frac{3\lambda}{6}-\frac{4\lambda}{6} = -\frac{6\lambda}{6}=-\lambda. \] Quindi: \[ \boxed{\langle H\rangle=\left(\frac{1}{I}-\lambda\right)\hbar^2.} \]

(c) Ripetere (a) a tempo \(t\) generico

1. Lo stato \(|\Psi(t)\rangle\) resta combinazione di \(|L,0\rangle\) con le stesse ampiezze in modulo: cambiano solo le fasi \(e^{-iE_L t/\hbar}\).
2. Quindi le probabilità di misurare \(L^2\) e \(L_z\) sono identiche a quelle di \(t=0\): \[ \boxed{ P(L=2)=\frac16,\quad P(L=1)=\frac12,\quad P(L=0)=\frac13 } \qquad \text{e}\qquad \boxed{P(L_z=0)=1.} \]