L'esperimento di Stern-Gerlach rappresenta uno degli esempi fondamentali per comprendere il concetto di spin e il comportamento quantistico delle particelle. Fu progettato per verificare l'esistenza di momenti angolari quantizzati, e dimostrò che il momento magnetico di una particella può assumere solo valori discreti, coerenti con le predizioni della meccanica quantistica.
Nell'esperimento, un fascio di particelle (generalmente atomi di argento) viene fatto passare attraverso un campo magnetico non uniforme. Questo campo produce una forza dipendente dal momento magnetico della particella:
Dove \( \vec{\mu} \) è il momento magnetico della particella e \( \vec{B} \) rappresenta il campo magnetico. A causa della quantizzazione del momento angolare intrinseco (spin), il fascio si divide in due componenti distinti, corrispondenti ai due possibili stati di spin (\( m_s = +\frac{1}{2} \) e \( m_s = -\frac{1}{2} \)).
La suddivisione del fascio in due tracce ben distinte evidenzia che il momento angolare intrinseco non è un vettore continuo, ma assume solo valori discreti. Questo risultato è stato fondamentale per l'introduzione del concetto di spin nella fisica quantistica e ha portato alla definizione dei numeri quantici.
Qui, \( g_s \) è il fattore di Landé, \( \mu_B \) è il magnetone di Bohr e \( m_s \) rappresenta il numero quantico di spin, che può assumere i valori \( \pm\frac{1}{2} \) per particelle con spin \( \frac{1}{2} \).
L'esperimento di Stern-Gerlach dimostra che lo stato quantico di una particella è proiettato lungo una direzione specifica nel momento in cui viene effettuata una misura. In questo caso, la direzione del campo magnetico non uniforme rappresenta l'asse di misura (\( \hat{z} \)). La funzione d'onda della particella collassa in uno degli autostati dell'operatore spin:
Dove \( \hat{S}_z \) è l'operatore spin lungo l'asse \( z \), \( \hbar \) è la costante di Planck ridotta, e \( m_s \) è il numero quantico associato alla misura.
Questo esperimento ha dimostrato che la misura di una grandezza quantistica influenza lo stato del sistema, anticipando il concetto di "collasso della funzione d'onda". Inoltre, ha reso evidente la natura discreta di proprietà intrinseche come lo spin, che non hanno analoghi nella fisica classica.
Il comportamento delle particelle nell'esperimento di Stern-Gerlach è spiegato analizzando l'interazione tra il momento magnetico della particella e il campo magnetico non uniforme. La forza esercitata è data da:
Consideriamo il caso in cui il campo magnetico \( \vec{B} \) abbia una componente principale lungo l'asse \( z \), con un gradiente di campo. Allora:
Qui, \( \mu_z = -g_s \mu_B m_s \) è la componente del momento magnetico lungo \( z \), dove:
La forza \( F_z \) è quindi proporzionale al gradiente \( \frac{\partial B_z}{\partial z} \) e al valore del numero quantico \( m_s \). Questa relazione implica che le particelle con \( m_s = +\frac{1}{2} \) sono deflesse in una direzione, mentre quelle con \( m_s = -\frac{1}{2} \) nella direzione opposta.
Durante il passaggio attraverso il campo magnetico, lo stato quantico della particella viene proiettato lungo la direzione del campo. La funzione d'onda iniziale \( \psi \) si riduce a uno degli autostati dell'operatore spin lungo \( z \):
Qui, \( \hat{S}_z \) è l'operatore spin lungo l'asse \( z \), i cui autovalori sono \( \pm \frac{\hbar}{2} \) per particelle con spin \( \frac{1}{2} \). Questo processo di proiezione è fondamentale per comprendere la natura della misura in meccanica quantistica.
Le particelle, inizialmente distribuite casualmente in direzione dello spin, emergono dall'apparato Stern-Gerlach in due traiettorie distinte corrispondenti ai valori \( m_s = +\frac{1}{2} \) e \( m_s = -\frac{1}{2} \). La posizione finale sul rivelatore è determinata dalla forza magnetica applicata e segue la relazione:
Dove:
Questa formula mostra come la separazione spaziale sia proporzionale alla forza magnetica esercitata e al tempo di interazione con il campo.
L'esperimento di Stern-Gerlach ha rivoluzionato la comprensione del mondo quantistico. Non solo ha introdotto il concetto di spin come proprietà intrinseca delle particelle, ma ha anche dimostrato sperimentalmente che la misura di una proprietà quantistica forza il sistema a collassare in uno stato discreto.
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