Evoluzione Temporale degli Operatori

Formalismo di Heisenberg

Nel formalismo di Heisenberg, l'evoluzione temporale di un sistema quantistico è descritta attraverso gli operatori, mentre gli stati rimangono fissi. L'operatore evoluto temporalmente \( \hat{A}(t) \) è definito come:
\[ \hat{A}(t) = e^{\frac{i}{\hbar} \hat{H} t} \hat{A}(0) e^{-\frac{i}{\hbar} \hat{H} t} \]
dove \( \hat{H} \) è l'hamiltoniano del sistema.

Equazione del moto di Heisenberg

Derivando rispetto al tempo, si ottiene l'equazione del moto per gli operatori:
\[ \frac{d\hat{A}(t)}{dt} = \frac{i}{\hbar} [\hat{H}, \hat{A}(t)] + \left( \frac{\partial \hat{A}(t)}{\partial t} \right) \]
Il primo termine rappresenta il contributo dell'hamiltoniano, mentre il secondo termine è presente solo per operatori esplicitamente dipendenti dal tempo.

Conservazione degli osservabili

Se un operatore \( \hat{A} \) commuta con l'hamiltoniano (\( [\hat{H}, \hat{A}] = 0 \)), allora \( \hat{A} \) è un osservabile conservato e non dipende dal tempo:
\[ \frac{d\hat{A}(t)}{dt} = 0 \]

Formalismo di Schrödinger e confronto

Nel formalismo di Schrödinger, sono gli stati a evolvere nel tempo secondo l'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo:
\[ i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle = \hat{H} |\psi(t)\rangle \]
Al contrario, nel formalismo di Heisenberg, gli stati sono fissi e l'evoluzione è trasferita agli operatori.

Applicazioni

Il formalismo di Heisenberg è particolarmente utile nello studio dei sistemi quantistici interagenti, della teoria quantistica dei campi e della meccanica statistica. Gli operatori di momento e posizione, ad esempio, evolvono secondo: Ritorna all'Indice