In meccanica quantistica, esistono diverse rappresentazioni per descrivere l’evoluzione di un sistema. Nella rappresentazione di Schrödinger, gli stati \(|\psi(t)\rangle\) dipendono dal tempo, mentre gli operatori restano costanti. Nella rappresentazione di Heisenberg, sono invece gli operatori a evolvere nel tempo, mentre gli stati rimangono fissi. Questa seconda scelta risulta particolarmente utile quando si vogliono analizzare le relazioni tra osservabili, costanti del moto e simmetrie, come nel caso del momento angolare.
Nella rappresentazione di Heisenberg, un operatore \(\hat{A}(t)\) è definito come:
\[ \hat{A}(t) = e^{i\hat{H}t/\hbar}\hat{A}(0)e^{-i\hat{H}t/\hbar}, \] dove \(\hat{H}\) è l’Hamiltoniano del sistema. Questo garantisce che l’equazione di Schrödinger si traduca in un’equazione del moto per gli operatori stessi.Derivando rispetto al tempo, si ottiene la cosiddetta equazione di Heisenberg:
\[ \frac{d\hat{A}(t)}{dt} = \frac{i}{\hbar} [\hat{H}, \hat{A}(t)] + \left(\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\right)_{\text{esp}}, \] dove \((\partial \hat{A}/\partial t)_{\text{esp}}\) è la derivata esplicita di \(\hat{A}\) nel caso l’operatore dipenda dal tempo in modo esplicito.Consideriamo il momento angolare orbitale \(\hat{\mathbf{L}} = (\hat{L}_x, \hat{L}_y, \hat{L}_z)\). Se l’Hamiltoniano è invariante per rotazioni attorno ad un asse (ad esempio l’asse \(z\)), allora \(\hat{L}_z\) commuta con \(\hat{H}\). Ciò implica:
\[ \frac{d\hat{L}_z(t)}{dt} = \frac{i}{\hbar}[\hat{H}, \hat{L}_z(t)] = 0, \] se \([\hat{H}, \hat{L}_z]=0\). Dunque \(\hat{L}_z\) è una costante del moto, il che significa che il valore medio \(\langle \hat{L}_z \rangle\) rimane costante nel tempo. Lo stesso discorso si applica agli altri componenti del momento angolare se il sistema ha le necessarie simmetrie.In modo analogo, se consideriamo gli operatori di salita e discesa \(\hat{L}_+\) e \(\hat{L}_-\) (definiti tramite \(\hat{L}_x\) e \(\hat{L}_y\)), la loro evoluzione temporale sarà determinata dalla commutazione con \(\hat{H}\). Un Hamiltoniano indipendente dal tempo che commuta con tutti i componenti del momento angolare rappresenta un sistema con simmetria sferica, in cui i moduli del momento angolare e la sua proiezione su un asse restano invariati.
Nella rappresentazione di Schrödinger, sono gli stati \(|\psi(t)\rangle\) a evolvere con il tempo, mentre gli operatori rimangono fissi. Per ottenere la stessa informazione sulla dinamica degli osservabili, bisogna calcolare i valori medi facendo agire l’operatore invariato sugli stati che cambiano nel tempo:
\[ \langle \hat{A} \rangle_t = \langle \psi(t)|\hat{A}|\psi(t)\rangle. \]Nella rappresentazione di Heisenberg invece, \(|\psi\rangle\) è costante ed è \(\hat{A}(t)\) a evolvere, ma i valori medi sono gli stessi:
\[ \langle \hat{A}(t) \rangle = \langle \psi(0)|\hat{A}(t)|\psi(0)\rangle. \]I due approcci sono equivalenti, ma la rappresentazione di Heisenberg rende più immediata l’interpretazione della costanza di certi operatori o la relazione di questi con le simmetrie del problema.
L’evoluzione temporale degli operatori in meccanica quantistica, analizzata nella rappresentazione di Heisenberg, illumina la relazione tra simmetrie, commutatori con l’Hamiltoniano e costanti del moto. Nel caso del momento angolare, questa prospettiva mette in evidenza come la presenza di invarianti di simmetria (come la simmetria sferica) renda immutati nel tempo determinati componenti del momento angolare, o i loro combinazioni.
Nel caso in cui l’Hamiltoniano non dipenda dal tempo, l’operatore di evoluzione temporale può essere espresso come:
\[ \hat{U}(t) = e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H} t}. \]Se si intende descrivere la dinamica tramite la rappresentazione di Heisenberg, si definisce l’operatore nel tempo come:
\[ \hat{A}(t) = \hat{U}^\dagger(t)\hat{A}(0)\hat{U}(t), \] dove \(\hat{A}(0)\) è l’operatore all’istante iniziale. Sostituendo la forma di \(\hat{U}(t)\), si ha: \[ \hat{A}(t) = e^{\frac{i}{\hbar}\hat{H} t}\hat{A}(0)e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H} t}. \]Derivando rispetto al tempo:
\[ \frac{d\hat{A}(t)}{dt} = \frac{i}{\hbar}\hat{H}e^{\frac{i}{\hbar}\hat{H} t}\hat{A}(0)e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H} t} - \frac{i}{\hbar}e^{\frac{i}{\hbar}\hat{H} t}\hat{A}(0)\hat{H}e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H} t}. \]Osservando che gli esponenziali dell’Hamiltoniano costituiscono una trasformazione unitaria, l’espressione si semplifica nel commutatore:
\[ \frac{d\hat{A}(t)}{dt} = \frac{i}{\hbar}[\hat{H}, \hat{A}(t)]. \]Se l’operatore \(\hat{A}\) fosse esplicitamente dipendente dal tempo, allora si dovrebbe aggiungere il termine \(\left(\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\right)_{\text{esp}}\). In generale, se \(\hat{H}\) non dipende dal tempo, la derivata esplicita è nulla per operatori come \(\hat{x}, \hat{p}, \hat{L}_z\), che sono definiti a partire da variabili canoniche indipendenti dal tempo. Resta quindi la forma semplice:
\[ \frac{d\hat{A}(t)}{dt} = \frac{i}{\hbar}[\hat{H}, \hat{A}(t)]. \]Considerando il momento angolare attorno a z, \(\hat{L}_z\), se il sistema è isotropo o se esiste una simmetria di rotazione attorno a z, l’Hamiltoniano commuta con \(\hat{L}_z\). Ciò implica:
\[ \frac{d\hat{L}_z(t)}{dt} = \frac{i}{\hbar}[\hat{H}, \hat{L}_z(t)] = 0. \]Interpretando questo risultato, \(\hat{L}_z\) rimane costante nel tempo in senso operatoriale, quindi i suoi autovalori rimangono invariati durante l’evoluzione. Questo significa che se inizialmente uno stato è un autostato di \(\hat{L}_z\), la misura di \(L_z\) dà sempre lo stesso risultato. In un contesto fisico, ciò corrisponde a una situazione con un asse di rotazione ben definito e invariante.
Per mostrare un esempio più dettagliato, prendere un potenziale sfericamente simmetrico, come quello dell’atomo di idrogeno. L’Hamiltoniano è:
\[ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(r), \] con \(V(r)\) dipendente solo dalla distanza \(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\). La commutazione con \(\hat{\mathbf{L}}^2\) e \(\hat{L}_z\) è garantita dalla simmetria sferica. Di conseguenza, la componente \(L_z\) non varia nel tempo e gli stati possono essere etichettati dai numeri quantici associati all’autovalore di \(\hat{L}_z\).Delineando i passaggi alla lavagna:
• Scrivere l’equazione di Heisenberg per \(\hat{A}(t)\). • Sostituire \(\hat{A}=\hat{L}_z\) e mostrare il commutatore con \(\hat{H}\). • Se il commutatore è zero, la derivata temporale di \(\hat{L}_z\) è nulla, indicando invariabilità temporale. • Sottolineare come questa proprietà emerga dal legame tra simmetrie e costanti del moto, concetto fondante per comprendere i vincoli dinamici di un sistema quantistico. Ritorna all'Indice