Generatori di Traslazioni
Introduzione
Le traslazioni spaziali sono trasformazioni che spostano un sistema di coordinate di un certo vettore \( \vec{a} \). In meccanica quantistica, le traslazioni sono descritte da operatori unitari che agiscono sugli stati quantistici. Il generatore infinitesimale delle traslazioni è la quantità di moto, direttamente collegata al teorema di Noether.
Operatore di traslazione
L'operatore unitario di traslazione \( \hat{T}(\vec{a}) \) che sposta un sistema di una quantità \( \vec{a} \) è definito come:
\[
\hat{T}(\vec{a}) = e^{-\frac{i}{\hbar} \vec{a} \cdot \hat{\vec{p}}}
\]
dove \( \hat{\vec{p}} \) è l'operatore quantità di moto.
Azione sugli stati
Applicando \( \hat{T}(\vec{a}) \) a una funzione d'onda \( \psi(\vec{r}) \), si ottiene:
\[
\psi'(\vec{r}) = \hat{T}(\vec{a}) \psi(\vec{r}) = \psi(\vec{r} - \vec{a})
\]
Questo mostra che l'operatore \( \hat{T}(\vec{a}) \) trasla lo stato di una quantità \( \vec{a} \).
Generatore infinitesimale
Per una traslazione infinitesimale \( \vec{a} \to d\vec{a} \), l'operatore può essere espanso:
\[
\hat{T}(d\vec{a}) \approx 1 - \frac{i}{\hbar} d\vec{a} \cdot \hat{\vec{p}}
\]
Da ciò si identifica che il generatore delle traslazioni è \( \hat{\vec{p}} \), l'operatore quantità di moto.
Relazioni di commutazione
La commutazione tra l'operatore di traslazione \( \hat{T}(\vec{a}) \) e l'operatore posizione \( \hat{\vec{r}} \) fornisce:
\[
[\hat{\vec{p}}, \hat{\vec{r}}] = -i\hbar
\]
Questa relazione riflette il principio di indeterminazione posizione-quantità di moto.
Leggi di conservazione
Secondo il teorema di Noether, la simmetria per traslazioni nello spazio implica la conservazione della quantità di moto. Questo principio è valido sia per sistemi classici che quantistici.
Ritorna all'Indice