Gradino di Potenziale

Descrizione del sistema

Il gradino di potenziale è un modello ideale in cui una particella si muove in presenza di un potenziale definito come:

\[ V(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x < 0 \\ V_0 & \text{se } x \geq 0 \end{cases} \]

Questo problema permette di analizzare il comportamento della particella in relazione a fenomeni come riflessione e trasmissione.

Soluzione dell’equazione di Schrödinger

La funzione d’onda della particella soddisfa l’equazione di Schrödinger stazionaria:

\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x) \]

Le soluzioni sono diverse per \(x < 0\) e \(x \geq 0\):

Per \(x < 0\): il potenziale è \(V(x) = 0\), quindi:
\[ \psi(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx} \] \[ k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \]
Per \(x \geq 0\): il potenziale è \(V(x) = V_0\), quindi:
\[ \psi(x) = C e^{iqx} + D e^{-iqx} \] \[ q = \frac{\sqrt{2m(E - V_0)}}{\hbar} \]

Condizioni al contorno

La funzione d’onda e la sua derivata prima devono essere continue in \(x = 0\):

\[ \psi(0^-) = \psi(0^+), \quad \frac{d\psi(0^-)}{dx} = \frac{d\psi(0^+)}{dx} \]

Queste condizioni consentono di determinare i coefficienti \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\).

Coefficiente di riflessione e trasmissione

Il coefficiente di riflessione \(R\) e il coefficiente di trasmissione \(T\) sono definiti come:

\[ R = \frac{|B|^2}{|A|^2}, \quad T = \frac{|C|^2}{|A|^2} \]

Con la conservazione della probabilità:

\[ R + T = 1 \]

Interpretazione fisica

Il gradino di potenziale illustra come una particella quantistica interagisce con una discontinuità del potenziale. Se l'energia della particella è minore di \(V_0\), non può propagarsi oltre il gradino. Se \(E > V_0\), si osservano fenomeni di riflessione parziale e trasmissione. Ritorna all'Indice