Gradino di Potenziale

Il gradino di potenziale è un problema classico nella meccanica quantistica a una dimensione. Immaginiamo una particella libera che si muove lungo l’asse \(x\) e che incontra a un certo punto, diciamo \(x=0\), un cambiamento improvviso del potenziale:

Questo scenario è significativo perché mostra come un’onda incidente proveniente da sinistra, con energia \(E\), possa in parte riflettersi indietro e in parte trasmettersi oltre la regione \(x>0\), se \(E > V_0\). Se invece \(E < V_0\), la particella non ha abbastanza energia per superare il gradino, e la soluzione mostrerebbe un’onda evanescente per \(x>0\).

Confronto con la Fisica Classica

Nella meccanica classica, se una particella con energia \(E\) incontra un gradino di potenziale:

Onda Incidente, Riflessa e Trasmessa

Consideriamo una particella proveniente da sinistra (\(x<0\)) con energia \(E\). Si scrivono le soluzioni come somme di onde esponenziali complesse. Per \(x<0\): \[ \psi(x) = \psi_{\text{incidente}}(x) + \psi_{\text{riflessa}}(x), \] mentre per \(x>0\): \[ \psi(x) = \psi_{\text{trasmessa}}(x). \] L’ampiezza dell’onda riflessa e trasmessa dipende dal rapporto tra \(E\) e \(V_0\), nonché dalle condizioni di continuità e derivabilità della funzione d’onda al punto \(x=0\).

Alla Lavagna

1. Disegna l’asse \(x\) e il potenziale: \[ V(x) = 0 \text{ per } x<0, \quad V(x)=V_0 \text{ per } x\geq 0. \] Mostra un livello di energia \(E\). 2. Se \(E > V_0\), la particella possiede: - a sinistra un’onda incidente \(e^{ikx}\) e una riflessa \(e^{-ikx}\), con \(k=\sqrt{2mE}/\hbar\). - a destra un’onda trasmessa \(e^{iqx}\) con \(q=\sqrt{2m(E-V_0)}/\hbar\). 3. Se \(E < V_0\), a destra non si avrà un’onda propagante, ma un’onda evanescente del tipo \(e^{-\kappa x}\), con \(\kappa=\sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar\). 4. Imposta le condizioni al contorno a \(x=0\): \(\psi\) e \(\psi'\) sono continue. Risolvendo per i coefficienti di riflessione e trasmissione, si ottiene la probabilità che la particella passi o venga riflessa.

Risultati Qualitativi

Nel caso \(E>V_0\), parte dell’onda è riflessa, parte trasmessa. Il coefficiente di trasmissione non è semplicemente 1, come ci si aspetterebbe classicamente, ma meno di 1, a meno che \(V_0=0\). Questo mostra un effetto di parziale riflessione quantistica su un potenziale, nonostante la particella abbia energia sufficiente a superarlo.

Nella situazione \(E0\) formando un’onda evanescente, che decade esponenzialmente. Questa penetrazione senza trasmissione non ha equivalente classico, ed è una conseguenza della natura ondulatoria della funzione d’onda.

Significato Fisico

Il gradino di potenziale è un esempio lampante dei fenomeni distintamente quantistici: riflessione parziale e penetramento evanescente in zone classicamente proibite. Comprenderlo è essenziale per lo studio di dispositivi quantistici, tunneling, e in generale per apprezzare come la meccanica quantistica si discosti dall’intuizione classica, pur avendo analogie nelle situazioni di alta energia. Non ho voglia di sistemare il latex

Passi Matematici alla Lavagna

Per rendere il discorso più chiaro, immaginiamo di trovarci alla lavagna a svolgere i passaggi principali del problema del gradino di potenziale, senza entrare in dettagli integrali ma mostrando la struttura logica del calcolo.

1. **Definizione del potenziale e delle regioni:** Disegna l’asse \(x\). Segna il punto \(x=0\) dove avviene il salto di potenziale. \[ V(x) = \begin{cases} 0 & x<0 \\ V_0 & x \geq 0 \end{cases} \] È utile immaginare a sinistra (\(x<0\)) uno spazio dove la particella vede potenziale nullo, a destra (\(x>0\)) una regione a livello energetico innalzato di \(V_0\). 2. **Forma della soluzione a sinistra:** Se l’energia della particella è \(E\), nel dominio \(x<0\) l’equazione di Schrödinger si riduce a: \[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x) = E\psi(x), \] con \(V=0\). La soluzione generale per un’onda libera è una combinazione di onda che va verso destra e una che torna verso sinistra: \[ \psi(x) = A e^{i k x} + B e^{-i k x}, \quad \text{dove } k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}. \] Interpretiamo \(A e^{i k x}\) come l’onda incidente che si propaga verso destra, e \(B e^{-i k x}\) come l’onda riflessa che torna verso sinistra. 3. **Forma della soluzione a destra:** Per \(x>0\), il potenziale è \(V_0\). L’equazione diventa: \[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x) + V_0\psi(x) = E\psi(x). \] Se \(E > V_0\), l’energia cinetica residua a destra è \(E - V_0\): \[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x) = (E - V_0)\psi(x). \] Definiamo \(q = \sqrt{2m(E-V_0)}/\hbar\). La soluzione è un’onda che si propaga in avanti: \[ \psi(x) = C e^{i q x}, \] dove \(C\) rappresenta l’onda trasmessa. Se invece \(E < V_0\), abbiamo \(E - V_0 <0\), definendo \(\kappa = \sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar\), la soluzione a destra è: \[ \psi(x) = C e^{-\kappa x}, \] un’onda evanescente che decade esponenzialmente, senza propagazione libera. 4. **Condizioni al contorno:** Alla frontiera \(x=0\) imponiamo la continuità di \(\psi(x)\) e della sua derivata \(\psi'(x)\): \[ \psi(0^-)=\psi(0^+), \quad \psi'(0^-)=\psi'(0^+). \] Da queste due equazioni si ottiene un sistema lineare per i coefficienti \(B\) (onda riflessa) e \(C\) (onda trasmessa), a partire da un’ampiezza incidente fissata \(A\). 5. **Coefficiente di riflessione e trasmissione:** Il coefficiente di riflessione \(R\) è definito come il rapporto tra flusso di probabilità riflesso e flusso incidente, mentre il coefficiente di trasmissione \(T\) è il rapporto tra flusso trasmesso e flusso incidente. Dopo aver risolto il sistema per \(B\) e \(C\), si trovano espressioni di \(R\) e \(T\) in funzione dei parametri \(E\) e \(V_0\). Per \(E>V_0\): \[ R = \left(\frac{k-q}{k+q}\right)^2, \quad T = \frac{4 k q}{(k+q)^2}. \] Queste formule mostrano come anche superando in energia il gradino, la trasmissione non è mai totale, c’è sempre un certo riflesso. In particolare, se \(V_0>0\), l’adattamento di fase tra le due regioni produce una riflessione parziale. Per E "<" V0, si trova \(T=0\) (niente trasmissione), ma un’onda evanescente penetra nella regione a destra. Il coefficiente di riflessione in questo caso è \(R=1\), un riflesso totale, ma con penetrazione quantistica nel potenziale + alto.

Conclusione del Discorso

Il gradino di potenziale ci ha permesso di vedere come la funzione d’onda quantistica si comporta in situazioni non banali. Nella meccanica classica, una particella con energia superiore al gradino passerebbe sempre, e con energia inferiore non passerebbe mai. Quantisticamente, otteniamo una riflessione parziale anche quando ci si aspetterebbe passaggio certo, e un’onda evanescente nel regime classicamente proibito. Questi effetti emergono naturalmente dalle condizioni al contorno e dalla natura ondulatoria della funzione d’onda.