Hermiticità di \(H\) e Conservazione della Probabilità

L’Hamiltoniano \(\hat{H}\) in meccanica quantistica svolge un ruolo centrale: descrive l’energia totale del sistema e governa l’evoluzione temporale dello stato quantistico. Una caratteristica essenziale di \(\hat{H}\) è la sua hermiticità (\(\hat{H}=\hat{H}^\dagger\)). Non si tratta di un vincolo formale: senza di essa, non avremmo né energie reali né la garanzia che la probabilità si conservi nel tempo. Questo legame tra hermiticità e conservazione della probabilità è fondamentale per mantenere la consistenza fisica della teoria.

Hermiticità e Realtà degli Autovalori

Un operatore hermitiano ha autovalori reali. Poiché l’energia è un osservabile, i suoi valori misurati devono essere reali. Se \(\hat{H}\) non fosse hermitiano, potremmo ottenere valori energetici complessi, privi di significato fisico. Dalla condizione \(\hat{H}=\hat{H}^\dagger\) segue che per ogni autostato \(\phi\) con \(\hat{H}\phi = E\phi\), si ha \(E \in \mathbb{R}\). Questo è il primo tassello di coerenza.

Unità dell’Evoluzione Temporale e Conservazione della Norma

L’equazione di Schrödinger dipendente dal tempo è:

\[ i\hbar \frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle = \hat{H}|\psi(t)\rangle. \]

La soluzione formale è:

\[ |\psi(t)\rangle = e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}|\psi(0)\rangle. \]

Se \(\hat{H}\) è hermitiano, l’operatore di evoluzione \(\hat{U}(t)=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}\) è unitario. L’unitarietà significa \(\hat{U}^\dagger(t)\hat{U}(t)=\hat{I}\). Questo garantisce che la norma dello stato, e quindi la probabilità totale, rimangano invariati nel tempo.

Conservazione della Probabilità

Nella rappresentazione posizionale, la probabilità totale a un istante \(t\) è:

\[ P(t) = \int |\psi(\mathbf{r},t)|^2 d^3r. \]

Siccome \(|\psi(t)\rangle\) evolve in modo unitario, \(|\psi(t)\rangle\) ha sempre la stessa norma di \(|\psi(0)\rangle\). Di conseguenza, la probabilità totale non cambia con il tempo, nessuna probabilità si crea o si distrugge. Senza hermiticità di \(\hat{H}\), l’evoluzione non sarebbe unitaria e potremmo “perdere” norma, violando il principio probabilistico della teoria.

Alla Lavagna

1. Scrivi: \( i\hbar \frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle = \hat{H}|\psi(t)\rangle \). 2. Mostra la soluzione formale: \(|\psi(t)\rangle = e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}|\psi(0)\rangle.\) 3. Sottolinea che se \(\hat{H}\) è hermitiano, \(\hat{U}(t)=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}\) è unitario. 4. Disegna uno schema: stato iniziale \(|\psi(0)\rangle\) normato ad 1 → evoluzione unitaria → stato \(|\psi(t)\rangle\) sempre normato ad 1. 5. Spiega che ciò implica la conservazione della probabilità totale. 6. Evidenzia come questa proprietà derivi direttamente dall’hermiticità di \(\hat{H}\), rendendo coerente l’interpretazione probabilistica.

Risposta alla Domanda: “Hermiticità di H = Conservazione della Probabilità”

La ragione è che l’ermiticità di \(\hat{H}\) garantisce la realtà degli autovalori energetici e l’unitarietà dell’evoluzione temporale. Un’evoluzione unitaria non altera la norma dello stato, per cui la quantità \(\int |\psi(\mathbf{r},t)|^2 d^3r\) rimane costante. In assenza di hermiticità, l’operatore di evoluzione non sarebbe unitario, la norma potrebbe cambiare nel tempo e la probabilità non si conserverebbe.

Approfondimento sulla Dimostrazione alla Lavagna

Per rendere ancora più chiaro il legame tra hermiticità di \(\hat{H}\) e conservazione della probabilità, si può dettagliare meglio i passaggi alla lavagna. Supponiamo di voler mostrare come la norma di \(|\psi(t)\rangle\) rimane invariata durante l’evoluzione.

  1. Partenza dall’equazione di Schrödinger: Scrivi: \[ i\hbar \frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle = \hat{H}|\psi(t)\rangle. \] Prendi il prodotto scalare a sinistra con \(\langle \psi(t)|\): \[ i\hbar \langle \psi(t)|\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle = \langle \psi(t)|\hat{H}|\psi(t)\rangle. \]
  2. Norma e derivata della norma: La norma dello stato è: \[ \langle \psi(t)|\psi(t)\rangle. \] La sua derivata temporale è: \[ \frac{d}{dt}\langle \psi(t)|\psi(t)\rangle = \langle \frac{d}{dt}\psi(t)|\psi(t)\rangle + \langle \psi(t)|\frac{d}{dt}\psi(t)\rangle. \] Ora, usando l’equazione di Schrödinger, sostituiamo \(\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle\) e la sua coniugata. Da questa sostituzione emergono termini del tipo \(\langle \psi(t)|\hat{H}|\psi(t)\rangle\) e il suo complesso coniugato \(\langle \psi(t)|\hat{H}|\psi(t)\rangle^*\) (che sarà \(\langle \psi(t)|\hat{H}^\dagger|\psi(t)\rangle\)).
  3. Uso dell’hermiticità dell’Hamiltoniano: Se \(\hat{H}\) è hermitiano, \(\hat{H}=\hat{H}^\dagger\). Ciò significa: \[ \langle \psi(t)|\hat{H}|\psi(t)\rangle = \langle \psi(t)|\hat{H}|\psi(t)\rangle^*, \] un numero reale. Quindi, quando sommi i termini provenienti dalla derivata della norma, le parti immaginarie si cancellano. Di fatto, si dimostra che la derivata della norma è zero: \[ \frac{d}{dt}\langle \psi(t)|\psi(t)\rangle = 0. \] Questo dimostra la conservazione della norma dello stato quantistico nel tempo.
  4. Dalla norma totale alla probabilità totale: Nella rappresentazione di posizione, la norma dello stato \(|\psi(t)\rangle\) diventa: \[ \langle \psi(t)|\psi(t)\rangle = \int |\psi(\mathbf{r},t)|^2 d^3r. \] Se questa norma è costante nel tempo, allora la probabilità totale di trovare la particella da qualche parte nell’universo non cambia, è costante e pari a 1 (se l’abbiamo normalizzata a 1 all’inizio).
  5. Conclusione logica: Poiché tutta l’evoluzione è governata dall’operatore \(\hat{H}\), la sua hermiticità è la chiave per avere un’evoluzione unitaria e quindi conservare la probabilità. Se \(\hat{H}\) non fosse hermitiano, l’evoluzione potrebbe non essere unitaria e la probabilità totale potrebbe non essere conservata nel tempo, rendendo la teoria non interpretabile in termini probabilistici.

Questa dimostrazione mostra, con operazioni algebriche relativamente semplici, che il requisito di hermiticità di \(\hat{H}\) non è un capriccio matematico, ma un elemento cruciale per la consistenza fisica della meccanica quantistica. Senza di esso, non potremmo dare un significato probabilistico ai risultati delle misure.

Ritorna all'Indice