Stato con Indeterminazione Minima

La relazione di indeterminazione di Heisenberg stabilisce che per due osservabili coniugati, come posizione \(\hat{x}\) e impulso \(\hat{p}\), il prodotto delle loro incertezze non può essere minore di una certa quantità. In particolare:

Gli stati che saturano questa disuguaglianza, cioè quelli per cui l’uguaglianza è soddisfatta, sono detti stati con indeterminazione minima. Essi rappresentano la condizione in cui l’incertezza (o la “spread”) in posizione e impulso è distribuita in modo perfetto e simmetrico, riducendo al minimo possibile l’indeterminazione imposta dai principi fondamentali della meccanica quantistica.

Stati Coerenti dell’Oscillatore Armonico

Un esempio canonico di stati con indeterminazione minima sono gli stati coerenti dell’oscillatore armonico quantistico. Questi stati sono ottenuti applicando all’autostato fondamentale dell’oscillatore (lo stato a energia minima) l’operatore di traslazione nell’algebra dei ladder operators. Gli stati coerenti sono autostati dell’operatore di annichilazione \(\hat{a}\) e hanno la caratteristica di mantenere il prodotto \(\Delta x \Delta p\) esattamente a \(\hbar/2\).

Nello stato coerente \(|\alpha\rangle\) (dove \(\alpha\) è un numero complesso che ne determina il centro in fase), le incertezze in posizione e impulso hanno la stessa magnitudine, così che:

Qui \(\omega\) è la frequenza dell’oscillatore e l’uguaglianza \(\Delta x \Delta p = \hbar/2\) è soddisfatta. Questi stati coerenti seguono, in media, l’equazione del moto classico per un oscillatore armonico.

Alla Lavagna

1. Inizia con la relazione di indeterminazione: \[ \Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}. \]

2. Definisci \(\Delta x = \sqrt{\langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2}\) e analogamente per \(\Delta p\).

3. Spiega che stati per i quali \(\Delta x \Delta p = \hbar/2\) saturano la disuguaglianza. Questi sono gli stati con indeterminazione minima.

4. Considera l’oscillatore armonico: gli stati coerenti \(|\alpha\rangle\) sono costruiti dal vuoto \(|0\rangle\) come \(|\alpha\rangle = e^{\alpha \hat{a}^\dagger - \alpha^* \hat{a}}|0\rangle\). Mostra che sono autostati di \(\hat{a}\) e stabilisci la relazione per \(\Delta x\) e \(\Delta p\).

5. Disegna qualitativamente la funzione d’onda di uno stato coerente nel suo minimo di energia “spostato”: ricorda una gaussiana la cui larghezza in \(x\) e \(p\) è la minima possibile.

Significato Fisico

Gli stati con indeterminazione minima possono essere interpretati come quegli stati quantistici che più da vicino si avvicinano al comportamento classico. Ad esempio, nello stato coerente dell’oscillatore armonico, il pacchetto d’onda si sposta come una particella classica che oscilla nel potenziale armonico, senza dispersione di forma e mantenendo sempre la stessa incertezza minima.

In contesti sperimentali, gli stati coerenti sono realizzabili nella radiazione elettromagnetica quantizzata, dove rappresentano campi laser in stato quasi-classico. L’essenza è che questi stati minimizzano la relazione di indeterminazione distribuendo ugualmente l’incertezza tra le variabili coniugate.

Generalizzazioni

Stati con indeterminazione minima esistono anche per altre coppie di osservabili coniugate, non solo \(x\) e \(p\). Ad esempio, in ottica quantistica si considerano coppie di quadrature del campo elettromagnetico che soddisfano relazioni di commutazione analoghe a quelle di posizione e impulso, e gli stati coerenti delle quadrature corrispondono anch’essi a stati di indeterminazione minima.