Il principio di indeterminazione, nella sua forma più nota, si riferisce all’impossibilità di conoscere simultaneamente con precisione arbitraria alcuni osservabili come posizione e impulso. Tuttavia, esiste una relazione di indeterminazione molto più generale che coinvolge qualunque coppia di operatori hermitiani non commutanti. Questa relazione fornisce un limite inferiore al prodotto delle incertezze di due osservabili qualunque, non solo dei canonici posizione-impulso.
Siano \(\hat{A}\) e \(\hat{B}\) due operatori hermitiani corrispondenti a osservabili, e \(|\psi\rangle\) uno stato del sistema. L’incertezza nell’osservabile \(\hat{A}\), denotata con \(\Delta A\), è definita come la deviazione standard di \(\hat{A}\) nello stato \(|\psi\rangle\):
\[ (\Delta A)^2 = \langle \psi | \hat{A}^2 | \psi \rangle - \langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle^2. \] Analogamente per \(\hat{B}\): \[ (\Delta B)^2 = \langle \psi | \hat{B}^2 | \psi \rangle - \langle \psi | \hat{B} | \psi \rangle^2. \]La relazione di indeterminazione generale vale per ogni coppia di operatori \(\hat{A}\) e \(\hat{B}\) e dice:
\[ \Delta A \Delta B \geq \frac{1}{2}\left| \langle \psi | [\hat{A}, \hat{B}] | \psi \rangle \right|, \] dove \([\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}\) è il commutatore. Se \(\hat{A}\) e \(\hat{B}\) non commutano, il commutatore è non nullo e impone un limite inferiore sul prodotto delle incertezze. Questa relazione generale riduce al noto principio di Heisenberg per posizione-impulso quando si inseriscono \(\hat{x}\) e \(\hat{p}\).L’indeterminazione non è semplicemente un limite strumentale, ma un aspetto intrinseco della natura quantistica. Se due operatori non commutano, non esiste uno stato in cui entrambi gli osservabili abbiano valori definiti simultaneamente. Il miglior risultato che si può ottenere è limitare l’incertezza di uno a spese dell’altro.
Oltre al caso \((\hat{x}, \hat{p})\) che fornisce \(\Delta x \Delta p \geq \hbar/2\), si possono considerare, ad esempio, gli spin in direzioni diverse. Le componenti di spin non commutano tra loro: \([\hat{S}_x, \hat{S}_y] = i\hbar \hat{S}_z\), e quindi non è possibile preparare uno stato con spin definito simultaneamente in due direzioni diverse. La relazione di indeterminazione generale applicata alle componenti di spin spiega perché lo spin appare come un vettore quantistico “non orientabile” simultaneamente lungo tutti gli assi.
In contesti più complessi, se si hanno due osservabili che non commutano, come energia e tempo (in un senso leggermente diverso, poiché il tempo non è un operatore), oppure fase e numero di particelle in sistemi coerenti, si trovano analoghe relazioni di indeterminazione. Queste relazioni generali sono un aspetto profondo e caratteristico della struttura matematica della teoria quantistica.
Si considerino due operatori hermitiani A e B. Per descrivere l’origine della relazione di indeterminazione in modo trasparente, si può partire definendo due operatori spostati dalla loro media:
La scelta di questi operatori ha lo scopo di rendere il valor medio dello stato considerato |ψ> uguale a zero per entrambi gli operatori A' e B'. In altre parole:
⟨A'⟩ = ⟨A - ⟨A⟩⟩ = 0 ⟨B'⟩ = ⟨B - ⟨B⟩⟩ = 0
Con queste definizioni, le deviazioni standard diventano:
(ΔA)2 = ⟨A'2⟩ (ΔB)2 = ⟨B'2⟩
Per dimostrare la relazione di indeterminazione, uno dei metodi più noti è usare l’ineguaglianza di Cauchy-Schwarz sugli stati ottenuti applicando A' e B' a |ψ>. Consideriamo:
|φ> = A'|ψ> |χ> = B'|ψ>
Allora l’ineguaglianza di Cauchy-Schwarz nel prodotto interno ⟨·|·⟩ dice che per qualsiasi coppia di vettori |φ> e |χ>:
|⟨φ|χ>|2 ≤ ⟨φ|φ>⟨χ|χ>
Sostituendo, si ottiene:
|⟨ψ|A'B'|ψ>|2 ≤ ⟨ψ|A'2|ψ> ⟨ψ|B'2|ψ>
Ovvero:
|⟨A'B'⟩|2 ≤ (ΔA)2(ΔB)2
A questo punto, si separa A'B' nella parte simmetrica e antisimmetrica. In particolare, si considera il commutatore [A', B'] = A'B' - B'A' e l’anticommutatore {A', B'} = A'B' + B'A'. La parte del commutatore è quella che fa emergere il termine immaginario, mentre l’anticommutatore rimane reale. Grazie a questa distinzione, si dimostra che:
(ΔA)(ΔB) ≥ (1/2) | ⟨[A,B]⟩ |.
L’origine del termine |⟨[A,B]⟩| al denominatore della disuguaglianza è chiara: se A e B commutano, [A,B] = 0, e non esiste un limite inferiore non banale al prodotto delle incertezze. Se invece i due operatori non commutano, il commutatore è non nullo e fornisce un limite. Questo spiega anche il caso particolare di x e p, dove [x, p] = iħ, e si ottiene l’ormai nota Δx Δp ≥ ħ/2.
Nella pratica, queste dimostrazioni mostrano che le incertezze non derivano da imperfezioni sperimentali o strumenti di misura limitati, ma dalla struttura matematica degli operatori quantistici, e quindi dal formalismo stesso della teoria quantistica. In altri termini, l’indeterminazione è una proprietà intrinseca degli osservabili quantistici.
Questa relazione generale trova applicazioni in vari contesti, non solo nel caso canonico di posizione e impulso, ma anche per spin in diverse direzioni o per altre coppie di operatori rilevanti nei sistemi quantistici. Qualunque sia la coppia di operatori non commutanti, permane questa limitazione fondamentale sulla conoscenza simultanea dei valori di quei due osservabili.
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