La relazione di indeterminazione in meccanica quantistica stabilisce un limite fondamentale alla precisione con cui due osservabili non compatibili possono essere misurate simultaneamente. L’espressione più nota è quella tra posizione e impulso, ma esiste una formulazione generale in termini di operatori arbitrari. La struttura algebraica degli operatori e le loro relazioni di commutazione determinano la forma della relazione di indeterminazione.
Consideriamo due operatori osservabili \(\hat{A}\) e \(\hat{B}\) hermitiani, con valori medi in uno stato \(|\psi\rangle\):
\[ \langle A \rangle = \langle \psi|\hat{A}|\psi \rangle, \quad \langle B \rangle = \langle \psi|\hat{B}|\psi \rangle. \]Definiamo le fluttuazioni (scarti quadratici medi) come:
\[ \sigma_A^2 = \langle ( \hat{A} - \langle A \rangle )^2 \rangle, \quad \sigma_B^2 = \langle ( \hat{B} - \langle B \rangle )^2 \rangle. \] Le quantità \(\sigma_A\) e \(\sigma_B\) misurano l’indeterminazione (o incertezza) degli osservabili \(A\) e \(B\) nello stato \(|\psi\rangle\).La forma operatoriale generale della relazione di indeterminazione è:
\[ \sigma_A \sigma_B \ge \frac{1}{2} \big|\langle [\hat{A}, \hat{B}] \rangle\big|. \]Dove \([\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}\) è il commutatore. L’esistenza di un commutatore non nullo tra due osservabili implica che non possono essere definiti simultaneamente con precisione arbitraria. Questa relazione mostra che l’indeterminazione non è un difetto degli strumenti di misura, ma un aspetto intrinseco della struttura matematica della teoria.
La dimostrazione si basa sulle proprietà dei prodotti scalari in spazi di Hilbert. Considerando gli operatori spostati \(\hat{A}' = \hat{A} - \langle A \rangle\) e \(\hat{B}' = \hat{B} - \langle B \rangle\), si costruiscono due stati ausiliari e si applica la disuguaglianza di Cauchy–Schwarz. Dall’analisi di parti reale e immaginaria di certi prodotti scalari, emerge naturalmente il limite inferiore per \(\sigma_A \sigma_B\). L’ipotesi chiave è la linearità e la struttura di Hilbert dello spazio degli stati.
Il caso classico è quello tra posizione \(\hat{x}\) e impulso \(\hat{p}\), per cui \([\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar\). Questo produce la celebre relazione di Heisenberg:
\[ \sigma_x \sigma_p \ge \frac{\hbar}{2}. \] Anche se questa è solo una specifica istanza, mostra come il commutatore non nullo determini la soglia minima di incertezza.La disuguaglianza è in genere “≥”, ma si può avere uguaglianza per particolari stati, detti stati di indeterminazione minima (ad esempio i ground state dell’oscillatore armonico, o i cosiddetti “stati coerenti”). In questi stati, l’incertezza è distribuita equamente tra gli osservabili e raggiunge il limite inferiore della disuguaglianza. Ciò riveste importanza pratica nello studio di sistemi quantistici che mostrano proprietà semi-classiche.
Partendo da due operatori hermitiani  e ˆB, si definiscono gli operatori scostati dalla media Â' =  – ⟨A⟩ e ˆB' = ˆB – ⟨B⟩. In questo modo, in uno stato |ψ⟩ qualunque, si ha ⟨A'⟩ = 0 e ⟨B'⟩ = 0. Le incertezze sono date da σA2 = ⟨A'2⟩ e σB2 = ⟨B'2⟩.
L’idea chiave della dimostrazione consiste nel considerare una combinazione lineare di |ψ⟩, come ad esempio il vettore |Φ⟩ = (Â' + iλˆB')|ψ⟩, per un qualunque λ reale. Poiché la norma di qualunque vettore in uno spazio di Hilbert non può essere negativa, si impone ⟨Φ|Φ⟩ ≥ 0:
⟨Φ|Φ⟩ = ⟨ψ|(Â' – iλˆB')(Â' + iλˆB')|ψ⟩ = ⟨A'2⟩ + λ² ⟨B'2⟩ + iλ ⟨[A',ˆB']⟩.
Espandendo e separando parti reali e immaginarie, si ottiene un’espressione di secondo grado in λ. La parte reale deve rimanere non negativa per ogni λ, altrimenti si potrebbe scegliere λ tale da rendere ⟨Φ|Φ⟩ negativa, cosa impossibile. L’analisi dell’equazione in λ implica che il discriminante di questa “equazione quadratica” in λ deve essere minore o uguale a zero. Ciò porta direttamente a un vincolo su σAσB.
Infine, dal calcolo risulta:
σA σB ≥ (1/2) | ⟨[Â, ˆB]⟩ |,
dove [Â, ˆB] = ˆB – ˆBÂ. Questo risultato è del tutto generale, non dipende dalla forma specifica degli operatori, ma unicamente dalle loro proprietà di commutazione.La disuguaglianza fornisce un limite inferiore alla product σAσB. Si può avere uguaglianza se esistono stati |ψ⟩ per i quali il vettore |Φ⟩ sopra definito diventa proporzionale a un altro vettore in modo da minimizzare l’incertezza. Questi stati sono detti stati a indeterminazione minima. Nel caso di x e p, tali stati sono gli stati coerenti dell’oscillatore armonico quantistico, in cui le fluttuazioni sono distribuite in modo “ottimale” tra i due osservabili, raggiungendo il limite inferiore. Per x e p ciò significa che lo stato coerente soddisfa σx σp = ħ/2, mostrando un comportamento quanto più possibile vicino a quello classico pur mantenendo il carattere quantistico.
La natura di questi stati con minima indeterminazione riveste grande importanza in vari ambiti: dallo studio del limite quantistico della misura, a campi come l’ottica quantistica, dove stati coerenti del campo elettromagnetico vengono generati e utilizzati per ridurre il rumore quantistico in dispositivi interferometrici sensibili.
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