Misure di Energia

Descrizione generale

In meccanica quantistica, l'energia di un sistema è rappresentata dall'operatore hamiltoniano \( \hat{H} \). Quando si misura l'energia di un sistema, i valori possibili che possono essere ottenuti sono gli autovalori di \( \hat{H} \). L'equazione di Schrödinger indipendente dal tempo:

\[ \hat{H} \psi = E \psi \]

collega direttamente l'energia \( E \) del sistema agli stati stazionari \( \psi \), che sono le autofunzioni di \( \hat{H} \).

Risultati delle misure

Quando si effettua una misura di energia:

Il sistema collassa in uno degli stati stazionari \( \psi_n \), corrispondente a un autovalore \( E_n \).
La probabilità di ottenere \( E_n \) è data da:
\[ P(E_n) = |c_n|^2 \]
dove \( c_n \) è il coefficiente della sovrapposizione dello stato iniziale con l'autofunzione \( \psi_n \):
\[ c_n = \int \psi_n^*(x) \psi(x) \, dx \]

Valore atteso dell'energia

Il valore atteso dell'energia in uno stato quantistico \( \psi \) è calcolato come:

\[ \langle E \rangle = \int \psi^*(x) \hat{H} \psi(x) \, dx \]

Questo valore rappresenta la media pesata delle energie associate agli autovalori del sistema.

Osservazioni importanti

Le misure di energia non restituiscono mai un valore intermedio tra gli autovalori; i risultati sono sempre quantizzati.
In uno stato stazionario, il valore atteso dell'energia coincide con l'autovalore \( E_n \) associato allo stato \( \psi_n \).

Esempio: Oscillatore armonico

Per un oscillatore armonico quantistico, l'hamiltoniano è dato da:

\[ \hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m \omega^2 \hat{x}^2 \]

Gli autovalori dell'energia sono:

\[ E_n = \left( n + \frac{1}{2} \right) \hbar \omega \]

dove \( n = 0, 1, 2, \ldots \). Durante una misura di energia, il sistema collassa in uno stato \( \psi_n \), e l'energia misurata sarà \( E_n \).

Ruolo delle misure

Le misure di energia in meccanica quantistica non sono semplici osservazioni ma influenzano attivamente lo stato del sistema, in accordo con l'interpretazione di Copenaghen. Questo effetto, noto come collasso della funzione d'onda, è uno dei principi fondamentali che distinguono la meccanica quantistica dalla fisica classica. Ritorna all'Indice